Disco desenrollándose de una cuerda (G.I.A.)
De Laplace
(→Reducción cinemática del movimiento instantáneo) |
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Como sabemos, el movimiento del disco respecto del sistema de referencia fijo queda caracterizado en cada instante por los dos vectores que forman la reducción cinemática: el vector rotación instantánea <math>\vec{\omega}</math> y la velocidad de un punto cualquiera de dicho sólido. En el sistema bajo estudio, en que el disco se mueve siempre contenido en el plano <math>OXY</math>, hay un punto cuya velocidad instantánea es fácil de determinar: se trata del centro del disco <math>C</math>, que se moverá siempre paralelo a la cuerda desenrollada (y, por tanto, al eje <math>OY</math>), y según la ley horaria <math>l(t)</math>. Es decir, proponemos la reducción cinemática | Como sabemos, el movimiento del disco respecto del sistema de referencia fijo queda caracterizado en cada instante por los dos vectores que forman la reducción cinemática: el vector rotación instantánea <math>\vec{\omega}</math> y la velocidad de un punto cualquiera de dicho sólido. En el sistema bajo estudio, en que el disco se mueve siempre contenido en el plano <math>OXY</math>, hay un punto cuya velocidad instantánea es fácil de determinar: se trata del centro del disco <math>C</math>, que se moverá siempre paralelo a la cuerda desenrollada (y, por tanto, al eje <math>OY</math>), y según la ley horaria <math>l(t)</math>. Es decir, proponemos la reducción cinemática | ||
| - | <center><math>S=\{\vec{\omega}(t);\ \vec{v}_C(t)\}\,\mathrm{,}\,\quad\,\mathrm{tal}\,\mathrm{que}\,\quad | + | <center><math>S=\{\vec{\omega}(t);\ \vec{v}_C(t)\}\,\mathrm{,}\,\quad\,\mathrm{tal}\;\,\mathrm{que}\,\quad \,\mathrm{,}\,\;\; \vec{v}_P(t)=\vec{v}_C(t)+\vec{\omega}(t)\times\overrightarrow{OP}\,\mathrm{,}\;\,\forall\ P\in\tau_{\mathrm{disco}}</math></center> |
Comencemos determinado la expresión instantánea de la velocidad del centro del disco. En todo instante, el radio-vector <math>\vec{r}_C</math> que determina la posición del centro <math>C</math> respecto del punto fijo <math>O</math>, adoptado como origen del sistema de referencia, puede expresarse como sigue: | Comencemos determinado la expresión instantánea de la velocidad del centro del disco. En todo instante, el radio-vector <math>\vec{r}_C</math> que determina la posición del centro <math>C</math> respecto del punto fijo <math>O</math>, adoptado como origen del sistema de referencia, puede expresarse como sigue: | ||
Revisión de 14:25 9 dic 2011
1 Enunciado
(donde k es una constante conocida).
- Obtenga la reducción cinemática que describe el movimiento instantáneo del disco.
- Velocidad y aceleración instantáneas del punto B indicado en la figura.
2 Solución
2.1 Reducción cinemática del movimiento instantáneo
Como sabemos, el movimiento del disco respecto del sistema de referencia fijo queda caracterizado en cada instante por los dos vectores que forman la reducción cinemática: el vector rotación instantánea 
y la velocidad de un punto cualquiera de dicho sólido. En el sistema bajo estudio, en que el disco se mueve siempre contenido en el plano OXY, hay un punto cuya velocidad instantánea es fácil de determinar: se trata del centro del disco C, que se moverá siempre paralelo a la cuerda desenrollada (y, por tanto, al eje OY), y según la ley horaria l(t). Es decir, proponemos la reducción cinemática
Comencemos determinado la expresión instantánea de la velocidad del centro del disco. En todo instante, el radio-vector 
que determina la posición del centro C respecto del punto fijo O, adoptado como origen del sistema de referencia, puede expresarse como sigue:
siendo I el punto geométrico donde la cuerda desenrrollada se separa del disco. La derivada temporal de las ecuaciones horarias que describen el movimiento del centro del disco, nos proporciona la expresión que indica cómo es, en el transcurso del tiempo, la velocidad instantánea de dicho punto:
