Coordenadas cilíndricas. Base vectorial
De Laplace
(→Ojo a la dirección de <math>\mathbf{u}_{\rho}\,</math> y <math>\mathbf{u}_{{\varphi}</math>) |
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Los vectores <math>\mathbf{u}_{\rho}\,</math> y <math>\mathbf{u}_{{\varphi}}</math> son funciones de la coordenada | Los vectores <math>\mathbf{u}_{\rho}\,</math> y <math>\mathbf{u}_{{\varphi}}</math> son funciones de la coordenada | ||
<math>{\varphi}</math>. Eso quiere decir que, dependiendo del punto que estemos considerando, apuntan en un sentido u otro. En particular, si consideramos dos puntos diametralmente opuestos respecto al eje <math>Z\,</math>, el | <math>{\varphi}</math>. Eso quiere decir que, dependiendo del punto que estemos considerando, apuntan en un sentido u otro. En particular, si consideramos dos puntos diametralmente opuestos respecto al eje <math>Z\,</math>, el | ||
vector <math>\mathbf{u}_{\rho}\,</math> en el primer punto es exactamente el opuesto que en | vector <math>\mathbf{u}_{\rho}\,</math> en el primer punto es exactamente el opuesto que en | ||
| - | el otro, esto es, que | + | el otro, esto es, que "<math>\mathbf{u}_{\rho}\,</math>" no significa siempre lo mismo, ya |
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Revisión de 18:34 20 nov 2007
1 Base vectorial
Con ayuda de un poco de trigonometría construimos la base vectorial de cilíndricas.
- Antes de eso, recordamos que la coordenada
es la misma en cilíndricas que en esféricas, por lo que comparte el vector unitario
- Para
y 
consideramos un triángulo rectángulo en
el plano horizontal que pasa por 
. Al aumentar la coordenada 
nos movemos a lo largo de la hipotenusa, por lo que
- El vector es tangente a la circunferencia que pasa por , y por tanto perpendicular a la hipotenusa
2 Factores de escala
- El factor de escala de la coordenada es el mismo que en cartesianas
- La coordenada ρ es una distancia, por lo que variar una cantidad
equivale a recorrer una distancia 
y
- La coordenada
es, en cambio, es un ángulo. Al variar la coordenada en 
sobre una circunferencia de radio , la
distancia recorrida es 
y el factor de escala es
\begin{Nota} \textbf{¿Qué es un ángulo?}
Todos ``sabemos qué es un ángulo, pero no todos pueden dar una definición precisa.
Dados tres puntos $O$, $A$ y $B$, ¿cómo podemos definir el ángulo $\widehat{AOB}$? Lo primero, trazamos las semirrectas $OA$ y $OB$. A continuación trazamos una circunferencia de radio $R$ centrada en $O$. El valor de $R$ es arbitrario. El arco de circunferencia comprendido entre las dos semirrectas mide una distancia $L$. Se define el ángulo de apertura $\alpha$ (en radianes) como el cociente \[ \alpha = \frac{L}{R} \] Esta cantidad es independiente del radio elegido $R$. Si duplicamos el radio, duplicamos el arco y el cociente permanece constante.
De esta definición es inmediata la manera de calcular el arco recorrido \[ L = \alpha R \] \end{Nota}
2.1 Ojo a la dirección de No se pudo entender (Falta el ejecutable de <strong>texvc</strong>. Por favor, lea <em>math/README</em> para configurarlo.): {\Large \mathbf{u}_{\rho}}\, y No se pudo entender (Falta el ejecutable de <strong>texvc</strong>. Por favor, lea <em>math/README</em> para configurarlo.): {\Large \mathbf{u}_{{\varphi}}}
Los vectores 
y son funciones de la coordenada
. Eso quiere decir que, dependiendo del punto que estemos considerando, apuntan en un sentido u otro. En particular, si consideramos dos puntos diametralmente opuestos respecto al eje 
, el
vector en el primer punto es exactamente el opuesto que en
el otro, esto es, que "" no significa siempre lo mismo, ya
que
\begin{center} \includegr{dependen.eps} \end{center}
