Pequeña espira junto a hilo
De Laplace
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Revisión de 19:23 15 jul 2008
Contenido |
1 Enunciado
Un conductor cilíndrico de radio muy pequeño a y longitud indefinida es recorrido por una corriente continua I0. Una espira cuadrada muy pequeña, de lado b, resistencia R y autoinducción despreciable, es coplanaria con el hilo y se encuentra situada a una distancia y de éste ().- Calcule, detallando los pasos, el campo magnético producido por el hilo en su exterior
- Si por la espira circula una corriente I1, ¿qué fuerza ejerce el hilo sobre ella?
- Suponga que la espira se aleja del hilo, sin cambiar su orientación, de modo que y = y0 + v0t, ¿cuánto vale la corriente I1 inducida en la espira en un instante t? ¿Y la fuerza que el hilo ejerce sobre ella?
2 Solución
2.1 Campo magnético debido al hilo
Consideremos primero el hilo infinito, colineal con el eje OZ, para calcular el campo de inducción magnética creado cuando por él circula una corriente eléctrica de intensidad I0. Para ello podemos seguir dos procedimientos distintos:
2.1.1 Por integración directa
Llamemos Λ a nuestro conductor filiforme rectilíneo que se extiende hasta el infinito; es decir, hasta puntos suficientemente alejados de donde evaluaremos el campo. Y asumiendo que el conductor forma un circuito cerrado en el infinito, el cuál es recorrido por una intensidad de corriente I0, se puede aplicar la ley de Biot y Savart para calcular el campo creado por dicha corriente:donde es el elemento de corriente en un punto P' del hilo, cuya posición viene dada por . El radiovector describe la posición del punto arbitrario P donde se evalúa el campo. Operando con estas expresiones en la ecuación anterior se obtiene:
Obsérvese que el vector unitario sale fuera de la integral ya que sólo depende de la variable , que es una de las coordenadas del punto donde se evalúa el campo y, por tanto, independiente de la variable de integración z'.
La integral que aparece en al expresión anterior puede integrarse fácilmente mediante un sencillo cambio de variable, obteniéndose así el campo de inducción magnética creado por una corriente rectilínea de longitud indefinida:
2.1.2 Por aplicación de la Ley de Ampère
Puede decirse que este segundo procedimiento goza de mayor significado físico, pero para poder aplicarlo de forma sencilla es necesario que el campo presente un alto grado de simetría. Comprobaremos primero que esto ocurre en el caso que nos ocupa. Como es bien sabido, una propiedad fundamental de es su carácter de campo solenoidal, por lo que deriva de un potencial vector que depende directamente de las fuentes del campo. En el sistema bajo estudio, ésta es la corriente rectilínea I0, de forma que...
Sin embargo no calcularemos el valor de esta integral: sólo utilizaremos el resultado de que el potencial vector generado en cualquier punto del espacio es paralelo al conductor filiforme rectilíneo; es decir, sólo tiene componente en la dirección z. Por otra parte, dada la simetría cilíndrica en torno al eje Z que presenta de la distribución de corriente, y su longitud infinita, permite asegurar que el valor del potencial vector en un punto sólo depende de la distancia ρ que lo separa de hilo de corriente. A partir de este resultado es fácil determinar la propiedades geométricas del campo :
Tomemos, por tanto, una circunferencia de radio arbitrario ρ, centrada en un punto cualquiera del eje OZ y contenida en un plano perpendicular a dicho eje. La ley de Ampère establece que la circulación del campo sobre la curva es proporcional a la intensidad de corriente que atraviesa cualquier superficie que se apoye en dicha curva; en el caso que nos ocupa esta intensidad es I0:
Y teniendo en cuenta la simetría del campo y que el vector elemento de arco sobre la curva es d, se obtiene:
2.2 Fuerza sobre la espira
Tal como se indica en la figura del enunciado