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Problemas de vectores libres (G.I.T.I.)

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)
(→Longitud de una sombra)
(→Longitud de una sombra)
Línea 149: Línea 149:
==[[Longitud de una sombra]]==
==[[Longitud de una sombra]]==
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En cierto sistema de coordenadas cartesianas, el suelo viene definido por el plano de ecuación <math>x-2y+2z=0\,</math> y en él se halla clavada una varilla rectilínea representada por el vector <math>\overrightarrow{OP}=(4\,\vec{\imath}-3\,\vec{\jmath}\,)\,\,\,</math>m. Suponiendo que es mediodía y los rayos solares inciden
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En cierto sistema de coordenadas cartesianas, el suelo viene definido por el plano de ecuación <math>x-2y+2z=0\,</math> y en él se halla clavada una varilla rectilínea representada por el vector <math>\overrightarrow{OP}=(4\,\vec{\imath}-3\,\vec{\jmath}\,)\,\mathrm{m}</math>. Suponiendo que es mediodía y los rayos solares inciden
perpendicularmente al suelo, ¿cuál es la longitud de la sombra que la varilla proyecta sobre el suelo?
perpendicularmente al suelo, ¿cuál es la longitud de la sombra que la varilla proyecta sobre el suelo?

Revisión de 08:05 11 nov 2011

Contenido

1 Formulas potencialmente incorrectas

De las siguientes expresiones, indique cuáles son necesariamente incorrectas. Aquí las diferentes letras representan las magnitudes definidas en el problema de ejemplos de análisis dimensional, R es una distancia y \vec{r} el vector de posición; t es el tiempo:

(a) \vec{F} = m\frac{\vec{v}\times\vec{a}}{\vec{v}}
(b) \vec{F}\times(\vec{v}\times\vec{a}) = (\vec{p}\cdot\vec{a})\times\vec{a}
(c) \frac{\vec{L}}{R} = \vec{F}t-\vec{v}
(d) (\vec{r}\times\vec{p})\vec{L} = R(\vec{r}\cdot\vec{p})\vec{p}
(e) \frac{\vec{F}-\vec{p}/t}{m} = \frac{\vec{r}-\vec{v}t}{t^2-t}
(f) \frac{1}{\vec{r}} = \frac{\vec{r}}{r^2}
(g) L = \vec{r}\times\vec{p}
(h) \frac{W}{t} = \vec{F}\times\left(\vec{v}-\frac{R}{t}\right)

2 Ejemplo de clasificación de vectores

De los siguientes vectores ligados con sus respectivos puntos de aplicación:

a) \vec{v}_1 = 2\vec{\imath}-\vec{\jmath} + \vec{k} en A(3,1,1)\,
b) \vec{v}_2 = 2\vec{\imath}+\vec{\jmath} + \vec{k} en B(1,2,0)\,
c) \vec{v}_3 = 2\vec{\imath}-\vec{\jmath} + \vec{k} en C(-1,3,-1)\,
d) \vec{v}_4 = 2\vec{\imath}-\vec{\jmath} + \vec{k} en D(-3,4,-1)\,
e) \vec{v}_5 = 2\vec{\imath}+\vec{\jmath} + \vec{k} en E(7,5,3)\,

indique cuáles pueden representar al mismo vector deslizante y cuáles al mismo vector libre.

3 Paralelogramo en cuadrilátero

Sea ABCD un cuadrilátero arbitrario. Demuestre, usando el álgebra vectorial, que los puntos medios de sus cuatro lados constituyen los vértices de un paralelogramo.

4 Arco capaz

Sean A y B dos puntos diametralmente opuestos en una circunferencia c. Sea P otro punto de la misma circunferencia. Demuestre que los vectores \overrightarrow{AP} y \overrightarrow{BP} son ortogonales.

Inversamente, sean A, B y P tres puntos tales que \overrightarrow{AP} \perp \overrightarrow{BP}. Sea C el punto medio entre A y B. Pruebe que |\overrightarrow{CP}| = |\overrightarrow{CA}|.

5 Diagonales de un rombo

Demuestre que las diagonales de un rombo son perpendiculares entre sí.

6 Seno y coseno de una diferencia

A partir del producto escalar y del vectorial de dos vectores del plano, con módulo unidad, demuestre las fórmulas trigonométricas para el coseno y el seno de una diferencia de dos ángulos.

7 Teoremas del seno y del coseno

Con ayuda de productos escalares y vectoriales demuestre los teoremas del coseno

c^2 = a^2 + b^2 -2ab\,cos(\gamma)

y del seno

\frac{\mathrm{sen}\,\alpha}{a}=\frac{\mathrm{sen}\,\beta}{b}=\frac{\mathrm{sen}\,\gamma}{c}

en un triángulo de lados a, b y c y ángulos opuestos α, β y γ.

8 Volumen de un paralelepípedo

Sean los puntos de coordenadas (en el SI) O(1,0,2), A(3,2,4), B(2,6,8) y C(2, − 3,1). Determine el volumen del paralelepípedo definido por los vectores \overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB} y \overrightarrow{OC}.

Halle del mismo modo el volumen del paralelepípedo definido por los vectores \overrightarrow{AO}, \overrightarrow{AB} y \overrightarrow{AC}.

Calcule igualmente el volumen del tetraedro irregular definido por estos cuatro puntos.

9 Ejemplo de ecuación vectorial de un plano

Obtenga la ecuación del plano perpendicular al vector libre \vec{a}= 2\vec{\imath}+3\vec{\jmath}+6\vec{k} y que contiene a un punto P, cuya posición respecto del origen de un sistema de referencia OXYZ viene dada por el radiovector \vec{r} = \vec{\imath} + 5\vec{\jmath} + 3\vec{k}. Calcule la distancia que separa a dicho plano del origen O. (Unidades del SI)

10 Cálculo de distancia entre dos rectas

Sean las rectas r1, que pasa por los puntos A( − 2,5,1) y B(7, − 7,1), y r2 que pasa por C(5,4, − 3) y D(5,4,2) (todas las unidades en el SI). Empleando el álgebra vectorial, determine la distancia entre estas dos rectas.

11 Ejemplo de construcción de una base

Dados los vectores

\vec{v}=\vec{\imath}+2\vec{\jmath}+2\vec{k}        \vec{a}=6\vec{\imath}+9\vec{\jmath}+6\vec{k}

Construya una base ortonormal dextrógira, tal que

  • El primer vector vaya en la dirección de \vec{v}
  • El segundo esté contenido en el plano definido por \vec{v} y \vec{a} y apunte hacia el mismo semiplano (respecto de \vec{v}) que el vector \vec{a}.
  • El tercero sea perpendicular a los dos anteriores, y orientado según la regla de la mano derecha.

12 Cálculo de base dual

Sea B_1=\{\vec{v}_1,\vec{v}_2,\vec{v}_3\} una base vectorial arbitraria. Sean \{\vec{w}_1,\vec{w}_2,\vec{w}_3\} tres vectores definidos por

\vec{w}_1=\frac{\vec{v}_2\times\vec{v}_3}{\Delta}        \vec{w}_2=\frac{\vec{v}_3\times\vec{v}_1}{\Delta}        \vec{w}_3=\frac{\vec{v}_1\times\vec{v}_2}{\Delta}        \Delta =\vec{v}_1\cdot(\vec{v}_2\times\vec{v}_3)
1. Demuestre que el conjunto B_2=\{\vec{w}_1,\vec{w}_2,\vec{w}_3\} es también una base (llamada base dual de B1). ¿Cuánto vale el producto mixto de sus vectores?
2. Pruebe que se cumple
\vec{v}_i\cdot\vec{w}_k=\begin{cases} 1 & i = k \\ 0 & i\neq 0\end{cases}
3. Demuestre que las componentes de un vector en la base B1 pueden calcularse proyectando sobre la base B2, esto es, si
\vec{F} = F_1\vec{v}_1 + F_2\vec{v}_2 + F_3\vec{v}_3
la componente k viene dada por
F_k = \vec{F}\cdot\vec{w}_k
4. Halle la base dual de la base
B_1 =\{\vec{\imath},\vec{\imath}+\vec{\jmath},\vec{\imath}+\vec{\jmath}+\vec{k}\}
5. Calcule las componentes del vector
\vec{F} = 2\vec{\imath}-3\vec{\jmath}+\vec{k}
en las bases del apartado anterior.

13 Sistema de ecuaciones vectoriales

Demuestre que si se cumplen simultáneamente las condiciones

\vec{A}\cdot\vec{B} = \vec{A}\cdot\vec{C}        \vec{A}\times\vec{B} = \vec{A}\times\vec{C}

siendo \vec{A}\neq \vec{0}, entonces \vec{B} = \vec{C}; pero si se cumple una de ellas y la otra no, entonces \vec{B}\neq\vec{C}.

14 Vectores que cumplen tres condiciones

Determine todos los vectores libres que cumplen las tres siguientes condiciones:

1) Tener una longitud de 14 m.

2) Ser ortogonal al vector (3\,\vec{\imath}+\vec{k}\,)\, m.

3) Formar junto a los vectores \,\vec{\imath}\,\, m y \,\vec{k}\, m un paralelepípedo de volumen igual a 6 m3.

15 Lados de un triángulo rectángulo

¿Cuál de las siguientes ternas de vectores libres podría corresponder a los tres lados de un triángulo rectángulo?

1) \,\,\,\vec{a}=(-\vec{\imath}+4\,\vec{\jmath}+\vec{k}\,)\,\mathrm{m;}\,\,\,\,\, \vec{b}=(2\,\vec{\imath}+\vec{\jmath}+\vec{k}\,)\,\mathrm{m;}\,\,\,\,\, \vec{c}=(-\vec{\imath}-5\,\vec{\jmath}-2\,\vec{k}\,)\,\mathrm{m}\,

2) \,\,\,\vec{a}=(3\,\vec{\imath}+2\,\vec{k}\,)\,\mathrm{m;}\,\,\,\,\, \vec{b}=(2\,\vec{\imath}-3\,\vec{k}\,)\,\mathrm{m;}\,\,\,\,\, \vec{c}=(5\,\vec{\imath}+\vec{k}\,)\,\mathrm{m}\,

3) \,\,\,\vec{a}=(\vec{\imath}-2\,\vec{\jmath}+3\,\vec{k}\,)\,\mathrm{m;}\,\,\,\,\, \vec{b}=(-2\,\vec{\imath}+3\,\vec{\jmath}-2\,\vec{k}\,)\,\mathrm{m;}\,\,\,\,\, \vec{c}=(-\vec{\imath}+\vec{\jmath}+\vec{k}\,)\,\mathrm{m}\,

4) \,\,\,\vec{a}=(3\,\vec{\jmath}+3\,\vec{k}\,)\,\mathrm{m;}\,\,\,\,\, \vec{b}=(\vec{\imath}+2\,\vec{\jmath}+2\,\vec{k}\,)\,\mathrm{m;}\,\,\,\,\, \vec{c}=(2\,\vec{\imath}+\vec{\jmath}-2\,\vec{k}\,)\,\mathrm{m}\,

16 Longitud de una sombra

En cierto sistema de coordenadas cartesianas, el suelo viene definido por el plano de ecuación x-2y+2z=0\, y en él se halla clavada una varilla rectilínea representada por el vector \overrightarrow{OP}=(4\,\vec{\imath}-3\,\vec{\jmath}\,)\,\mathrm{m}. Suponiendo que es mediodía y los rayos solares inciden perpendicularmente al suelo, ¿cuál es la longitud de la sombra que la varilla proyecta sobre el suelo?

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