Ejemplo de movimiento helicoidal (GIE)
De Laplace
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==Ecuaciones horarias== | ==Ecuaciones horarias== | ||
| + | Por otra parte, la velocidad de una partícula, expresada en coordenadas cilíndricas, es | ||
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| + | <center><math>\vec{v}=\dot{\rho}\vec{u}_\rho + \rho\dot{\varphi}\vec{u}_\varphi+\dot{z}\vec{u}_z</math></center> | ||
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| + | Igualando componente a componente, nos quedan las igualdades | ||
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| + | <center><math>\dot{\rho} = 0\qquad \rho\dot{\varphi}=\omega_0\rho\qquad\dot{z}=v_0</math></center> | ||
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| + | La integración de estas tres ecuaciones es inmediata, ya que cada una de las derivadas es una constante o nula. | ||
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| + | <center><math>\rho=\rho_0\qquad\varphi=\omega_0t + \varphi_0\qquad z=v_0t+z_0</math></center> | ||
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| + | Los valores de las constantes de integración los obtenemos de la posición inicial. sabemos que en <math>t=0</math> la partícula se encuentra en | ||
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| + | <center><math>\vec{r}_0=A\vec{\imath}</math></center> | ||
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| + | que corresponde a las coordenadas cilíndricas | ||
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| + | <center><math>\rho_0 = A\qquad\varphi_0 = 0\qquad z_0=0</math></center> | ||
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| + | por tanto las ecuaciones horarias del movimiento son | ||
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| + | <center><math>\rho=A\qquad\varphi=\omega_0t\qquad z=v_0t</math></center> | ||
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| + | En coordenadas cartesianas, estas ecuaciones horarias quedan | ||
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| + | <center><math>x = \rho \cos(\varphi) = A\cos(\omega_0t)\qquad y = \rho\,\mathrm{sen}(\varphi) = A\,\mathrm{sen}(\omega_0t)\qquad z = v_0t</math></center> | ||
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==Aceleración== | ==Aceleración== | ||
==Radio de curvatura== | ==Radio de curvatura== | ||
Revisión de 15:58 12 oct 2011
Contenido |
1 Enunciado
El movimiento de un pájaro en una corriente térmica es aproximadamente helicoidal, compuesto de un movimiento ascensional y uno de giro alrededor del eje de subida, de forma que la velocidad en cada punto de la trayectoria puede escribirse como
siendo
dos vectores constantes. Si la posición inicial es 
- Determine la velocidad en cada punto expresada en la base de coordenadas cilíndricas.
- Determine las ecuaciones horarias ρ = ρ(t),
y z = z(t). ¿Cuánto vale el paso de rosca de la hélice, esto es, lo que sube en el tiempo que da una vuelta alrededor del eje?
- Calcule la aceleración del movimiento, así como sus componentes intrínsecas en cada punto del movimiento.
- Determine el radio de curvatura de la trayectoria en cualquier instante.
2 Velocidad
La velocidad en cada punto la obtenemos simplemente sustituyendo en la expresión indicada
donde 
es el vector de posición del pájaro, que en coordenadas cilíndricas se expresa
Sustituyendo nos queda
La base asociada a las coordenadas cilíndricas forma un ortonormal y dextrógira, por lo que cumple
y queda la velocidad
Vemos que posee una componente acimutal (correspondiente al giro) y una vertical, asociada a la ascensión.
3 Ecuaciones horarias
Por otra parte, la velocidad de una partícula, expresada en coordenadas cilíndricas, es
Igualando componente a componente, nos quedan las igualdades
La integración de estas tres ecuaciones es inmediata, ya que cada una de las derivadas es una constante o nula.
Los valores de las constantes de integración los obtenemos de la posición inicial. sabemos que en t = 0 la partícula se encuentra en
que corresponde a las coordenadas cilíndricas
por tanto las ecuaciones horarias del movimiento son
En coordenadas cartesianas, estas ecuaciones horarias quedan
