Tabla de fórmulas de trigonometría

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)

Revisión de 14:12 11 oct 2011

1 Ángulos

1.1 Definición

1.2 Complementario y suplementario

Complementario

Suplementario

1.3 Opuestos por el vértice y alternos

1.4 Rotación de ejes

Mismo origen

Diferente origen

2 Definiciones

2.1 Geométrica

Coseno: $\cos(x)=\frac{a}{r}$
Seno: $\mathrm{sen}(x) = \frac{b}{r}$

2.2 Analítica

El argumento $x$ debe estar expresado en radianes

$\cos(x) = 1 -\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots$

$\mathrm{sen}(x) = x -\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots$

2.3 Exponenciales complejas

( $\mathrm{j}=\sqrt{-1}$ )

$\cos(x) = \frac{\mathrm{e}^{\mathrm{j}x}+\mathrm{e}^{-\mathrm{j}x}}{2}$

$\mathrm{sen}(x) = \frac{\mathrm{e}^{\mathrm{j}x}-\mathrm{e}^{-\mathrm{j}x}}{2\mathrm{j}}$

2.4 Funciones adicionales

Tangente: $\mathrm{tg}(x) = \frac{\mathrm{sen}(x)}{\cos(x)} = \frac{b}{a}$

Cotangente: $\mathrm{cotg}(x) = \frac{\cos(x)}{\mathrm{sen}(x)} = \frac{1}{\mathrm{tg}(x)}=\frac{a}{b}$

Secante: $\mathrm{sec}(x) = \frac{1}{\cos(x)}=\frac{r}{a}$

Cosecante: $\mathrm{cosec}(x) = \frac{1}{\mathrm{sen}(x)}=\frac{r}{a}$

2.5 En la circunferencia unidad

3 Gráficas desde −π a π

Seno y coseno

Tangente y cotangente

Secante y cosecante

4 Relaciones entre funciones

4.1 Identidades básicas

$\cos^2(x) + \mathrm{sen}^2(x) = 1\,$

$1 + \mathrm{tg}^2(x) = \mathrm{sec}^2(x)=\frac{1}{\cos^2(x)}\,$

$\mathrm{cotg}^2(x) +1= \mathrm{cosec}^2(x)=\frac{1}{\mathrm{sen}^2(x)}\,$

4.2 En función de la tangente

$u = \mathrm{tg}(x)\,$

$\mathrm{sen}(x) = \frac{u}{\sqrt{1+u^2}}$

$\cos(x) = \frac{1}{\sqrt{1+u^2}}$

4.3 En función de la tangente del ángulo mitad

$u = \mathrm{tg}\left(\frac{x}{2}\right)\,$

$\mathrm{sen}(x) = \frac{2u}{1+u^2}$

$\cos(x) = \frac{1-u^2}{1+u^2}$

$\mathrm{tg}(x) = \frac{2u}{1-u^2}$

5 Tabla de valores particulares

°	rad	sen	cos	tg
$0\,$	$0\,$	$\sqrt{0}/2 = 0$	$1\,$	$0\,$
$30\,$	$\pi/6\,$	$\sqrt{1}/2 = 1/2\,$	$\sqrt{3}/2$	$1/\sqrt{3}$
$45\,$	$\pi/4\,$	$\sqrt{2}/2$	$\sqrt{2}/2$	$1\,$
$60\,$	$\pi/3\,$	$\sqrt{3}/2$	$1/2\,$	$\sqrt{3}$
$90\,$	$\pi/2\,$	$\sqrt{4}/2=1$	$0\,$	$\infty$

Ángulo complementario: $\mathrm{sen}\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos(x)\qquad \cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\mathrm{sen}(x)$

Ángulo suplementario: $\mathrm{sen}\left(\pi-x\right)=\mathrm{sen}(x)\qquad \cos\left(\pi-x\right)=-\cos(x)$

Giro de un cuadrante: $\mathrm{sen}\left(\frac{\pi}{2}+x\right)=\cos(x)\qquad \cos\left(\frac{\pi}{2}+x\right)=-\mathrm{sen}(x)$

Giro de dos cuadrantes: $\mathrm{sen}\left(\pi+x\right)=-\mathrm{sen}(x)\qquad \cos\left(\pi+x\right)=-\cos(x)$

Cambio de signo: $\mathrm{sen}\left(-x\right)=-\mathrm{sen}(x)\qquad \cos\left(-x\right)=\cos(x)$

6 Suma y diferencia de ángulos

Seno

$\mathrm{sen}(x+y)=\mathrm{sen}(x)\cos(y)+\cos(x)\mathrm{sen}(y)\,$

$\mathrm{sen}(x-y)=\mathrm{sen}(x)\cos(y)-\cos(x)\mathrm{sen}(y)\,$

Coseno

$\cos(x+y)=\cos(x)\cos(y)-\mathrm{sen}(x)\mathrm{sen}(y)\,$

$\cos(x-y)=\cos(x)\cos(y)+\mathrm{sen}(x)\mathrm{sen}(y)\,$

Tangente

$\mathrm{tg}(x+y)=\frac{\mathrm{tg}(x)+\mathrm{tg}(y)}{1-\mathrm{tg}(x)\mathrm{tg}(y)}$

$\mathrm{tg}(x-y)=\frac{\mathrm{tg}(x)-\mathrm{tg}(y)}{1+\mathrm{tg}(x)\mathrm{tg}(y)}$

7 Ángulo doble y ángulo mitad

7.1 Ángulo doble

Seno

$\mathrm{sen}(2x)=2\mathrm{sen}(x)\cos(x)\,$

Coseno

$\cos(2x)=\cos^2(x)-\mathrm{sen}^2(x)\,$

Tangente

$\mathrm{tg}(2x)=\frac{2\,\mathrm{tg}(x)}{1-\mathrm{tg}^2(x)}$

7.2 Ángulo mitad

Seno

$\mathrm{sen}\left(\frac{x}{2}\right)=\sqrt{\frac{1-\cos(x)}{2}}$

Coseno

$\cos\left(\frac{x}{2}\right)=\sqrt{\frac{1+\cos(x)}{2}}$

Tangente

$\mathrm{tg}\left(\frac{x}{2}\right)=\sqrt{\frac{1-\cos(x)}{1+\cos(x)}}=\frac{\mathrm{sen}(x)}{1+\cos(x)}$

8 Sumas en productos

$\mathrm{sen}(x)+\mathrm{sen}(y) = 2\,\mathrm{sen}\left(\frac{x+y}{2}\right)\cos\left(\frac{x-y}{2}\right)$

$\mathrm{sen}(x)-\mathrm{sen}(y) = 2\,\mathrm{sen}\left(\frac{x-y}{2}\right)\cos\left(\frac{x+y}{2}\right)$

$\cos(x)+\cos(y) = 2\cos\left(\frac{x+y}{2}\right)\cos\left(\frac{x-y}{2}\right)$

$\cos(x)-\cos(y) = -2\,\mathrm{sen}\left(\frac{x+y}{2}\right)\mathrm{sen}\left(\frac{x-y}{2}\right)$

9 Derivadas y primitivas

El argumento debe estar obligatoriamente en radianes

9.1 Derivadas

$\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}x}(\mathrm{sen}(x)) = \cos(x)$

$\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}x}(\cos(x)) = -\mathrm{sen}(x)$

$\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}x}(\mathrm{tg}(x)) = \frac{1}{\cos^2(x)}=1+\mathrm{tg}^2(x)$

9.2 Primitivas

$\int \mathrm{sen}(x)\mathrm{d}x = -\cos(x)+C$

$\int \cos(x)\mathrm{d}x = \mathrm{sen}(x)+C$

$\int \mathrm{tg}(x)\mathrm{d}x = -\ln(\cos(x))+C$

10 Fórmula de Euler

Fórmula general

$\mathrm{e}^{\mathrm{j}x}=\cos(x)+\mathrm{j}\,\mathrm{sen}(x)\qquad (\mathrm{j}=\sqrt{-1})$

Casos particulares

$\mathrm{e}^{\mathrm{j}\pi/2} = \mathrm{j}\,$

$\mathrm{e}^{\mathrm{j}\pi} = -1\,$

$\mathrm{e}^{2\pi\mathrm{j}} = 1\,$

11 Teoremas del seno y del coseno

11.1 Teorema del seno

$\frac{a}{\mathrm{sen}(\alpha)}=\frac{b}{\mathrm{sen}(\beta)}=\frac{c}{\mathrm{sen}(\gamma)}=2R$

( $R$ : radio de la circunferencia circunscrita)

11.2 Teorema del coseno

Misma notación que en el teorema del seno

$a^2 = b^2 + c^2-2bc\cos(\alpha)\,$

y las correspondientes a los otros dos ángulos.

@@ Línea 24: / Línea 24: @@
 :[[Archivo:triangulo-rectangulo.png]]
-:<math>\cos(x)=\frac{a}{r}\qquad\mathrm{sen}(x) = \frac{b}{r}</math>
+;Coseno:
+:<math>\cos(x)=\frac{a}{r}</math>
+;Seno:
+:<math>\mathrm{sen}(x) = \frac{b}{r}</math>
 ===Analítica===
@@ Línea 44: / Línea 47: @@
 :[[Archivo:triangulo-rectangulo.png]]
-:<math>\mathrm{tg}(x) = \frac{\mathrm{sen}(x)}{\cos(x)} = \frac{b}{a}</math>
+;Tangente:<math>\mathrm{tg}(x) = \frac{\mathrm{sen}(x)}{\cos(x)} = \frac{b}{a}</math>
-:<math>\mathrm{cotg}(x) = \frac{\cos(x)}{\mathrm{sen}(x)} = \frac{1}{\mathrm{tg}(x)}=\frac{a}{b}</math>
+;Cotangente:<math>\mathrm{cotg}(x) = \frac{\cos(x)}{\mathrm{sen}(x)} = \frac{1}{\mathrm{tg}(x)}=\frac{a}{b}</math>
-:<math>\mathrm{sec}(x) = \frac{1}{\cos(x)}=\frac{r}{a}</math>
+;Secante:<math>\mathrm{sec}(x) = \frac{1}{\cos(x)}=\frac{r}{a}</math>
-:<math>\mathrm{cosec}(x) = \frac{1}{\mathrm{sen}(x)}=\frac{r}{a}</math>
+;Cosecante:<math>\mathrm{cosec}(x) = \frac{1}{\mathrm{sen}(x)}=\frac{r}{a}</math>
 ===En la circunferencia unidad===