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Cálculo numérico de la derivada del seno

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)
(→Aproximación numérica)
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! <math>x^\circ</math>
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Vemos que efectivamente el cociente converge, pero desde luego no a 1, que es lo que cabría esperar (si la derivada del seno es el coseno, al hacer <math>x=0</math>, nos debería salir 1).
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==Interpretación del resultado==
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Para interpretar el resultado, seguimos la sugerencia del enunciado y multiplicamos el resultado por 180, a ver qué sale
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[[Categoría:Problemas de herramientas matemáticas (GIE)]]
[[Categoría:Problemas de herramientas matemáticas (GIE)]]

Revisión de 22:06 5 oct 2011

Contenido

1 Enunciado

Se trata de calcular la derivada de f(x)=\,\mathrm{sen}(x^\circ) para x^\circ=0^\circ.

  1. Exprese el cociente Δf / Δx, cuando x_1^\circ=0^\circ y x_2^\circ=x^\circ.
  2. Calcule numéricamente el cociente anterior para x^\circ=1^\circ, x^\circ=0.1^\circ, x^\circ=0.01^\circ,… hasta x^\circ=(10^{-6})^\circ. ¿A cuanto tiende el límite?
  3. Multiplique los resultados anteriores por 180. A la vista de los resultados, ¿cuanto vale la derivada de \mathrm{sen}(x^\circ) en x=0^\circ?

2 Cociente incremental

La derivada de una función equivale al límite del cociente entre incrementos cuando estos tienden a cero

\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x} = \lim_{\Delta x\to 0} \frac{\Delta f}{\Delta x}

En nuestro caso, consideramos un incremento entre x^\circ = 0^\circ y un cierto valor del ángulo

\Delta x^\circ = x^\circ - 0^\circ = x^\circ

mientras que el incremento en la función es

\Delta(\mathrm{sen}(x^\circ))=\mathrm{sen}(x^\circ)-\overbrace{\mathrm{sen}(0^\circ)}^{=0}= \mathrm{sen}(x^\circ)

Por tanto, el cociente entre incrementos se reduce a

\frac{\Delta f}{\Delta x}=\frac{\mathrm{sen}(x^\circ)}{x^\circ}

3 Aproximación numérica

Calculamos entonces los valores del cociente incremental para valores cada vez más pequeños del argumento

x^\circ \mathrm{sen}(x^\circ) \mathrm{sen}(x^\circ)/x^\circ
1 0.017452406437283512819 0.017452406437283512819
0.1 0.001745328365898308836 0.017453283658983088358
0.01 0.001745329243133368033 0.017453292431333680334
0.001 0.000174532925190571996 0.017453292519057199614
0.0001 0.000017453292519934435 0.017453292519934434808
0.00001 0.000001745329251994321 0.017453292519943207160
0.000001 0.000000174532925199433 0.017453292519943294883

Vemos que efectivamente el cociente converge, pero desde luego no a 1, que es lo que cabría esperar (si la derivada del seno es el coseno, al hacer x = 0, nos debería salir 1).

4 Interpretación del resultado

Para interpretar el resultado, seguimos la sugerencia del enunciado y multiplicamos el resultado por 180, a ver qué sale

x^\circ \mathrm{sen}(x^\circ) \mathrm{sen}(x^\circ)/x^\circ 180 \mathrm{sen}(x^\circ)/x^\circ
1 0.017452406437283512819 0.017452406437283512819 3.1414331587110323075
0.1 0.001745328365898308836 0.017453283658983088358 3.1415910586169559044
0.01 0.001745329243133368033 0.017453292431333680334 3.1415926376400624601
0.001 0.000174532925190571996 0.017453292519057199614 3.1415926534302959304
0.0001 0.000017453292519934435 0.017453292519934434808 3.1415926535881982654
0.00001 0.000001745329251994321 0.017453292519943207160 3.1415926535897772887
0.000001 0.000000174532925199433 0.017453292519943294883 3.1415926535897930790
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0 0 π/180 π
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