Cálculo de la masa de una esfera
De Laplace
(→Masa) |
|||
| Línea 30: | Línea 30: | ||
Llevando esto a la integral | Llevando esto a la integral | ||
| - | <center><math>M = 4\pi A\int_0^R (R-r)r^2\,\mathrm{d}r = 4\pi A\left(R\int_0^R r^2\,\mathrm{d}r-\int_0^R r^3\,\mathrm{d}r\right)=4\pi A\left( | + | <center><math>M = 4\pi A\int_0^R (R-r)r^2\,\mathrm{d}r = 4\pi A\left(R\int_0^R r^2\,\mathrm{d}r-\int_0^R r^3\,\mathrm{d}r\right)=4\pi A\left(R\frac{R^3}{3}-\frac{R^4}{4}\right)=\frac{\pi A R^4}{3}</math></center> |
| - | Una comprobación que siempre conviene hacer es verificar que las dimensiones son correctas y que a la hora de descomponer en dos integrales, no nos hemos olvidado ninguna potencia de <math>R</math>. | + | Una comprobación que siempre conviene hacer es verificar que las dimensiones son correctas y que a la hora de descomponer en dos integrales, no nos hemos olvidado ninguna potencia de <math>R</math>. |
==Densidad media== | ==Densidad media== | ||
Revisión de 22:11 4 oct 2011
Contenido |
1 Enunciado
La densidad de masa de una esfera de radio R viene dada por la ley
Sabiendo que el área de una superficie esférica de radio r vale 4πr2, calcule el volumen y la masa de la esfera de radio R. ¿Cuánto vale su densidad media?
2 Volumen
La idea es clacular el volumen a partir de la suma de elementos de volumen de tamaño infinitesimal
| V = | ∫ | dV |
| V |
Entre los posibles elementos podemos considerar la esfera como compuesta de capas concéntricas , como las de una cebolla. Cada una de estas capas, de radio r comprendido entre 0 y R,es una lámina de área 4πr2 y espesor dr, por lo que tiene un volumen diferencial
con lo que el volumen total será el conocido
3 Masa
De manera análoga se calcula la masa de la esfera
| M = | ∫ | dm |
| M |
Por ser la densidad uniforme para cada valor de r, la masa de cada una de las capas anteriores será igual a la densidad de masa multiplicada por el volumen
Llevando esto a la integral
Una comprobación que siempre conviene hacer es verificar que las dimensiones son correctas y que a la hora de descomponer en dos integrales, no nos hemos olvidado ninguna potencia de R.
4 Densidad media
Una vez que tenemos el volumen y la masa total, la densidad media de masa es inmediata
Obsérvese que ni el volumen, ni la masa, ni la densidad media son funciones de r sino solo de las constantes del problema, ya que no son funciones de la posición, sino que tienen un valor fijado para la esfera como un todo.
