Cálculo de la masa de una esfera
De Laplace
(Página creada con '==Enunciado== La densidad de masa de una esfera de radio <math>R</math> viene dada por la ley <center><math>\rho = A(R-r)\qquad (0<r<R)</math></center> Sabiendo que el área d…') |
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==Volumen== | ==Volumen== | ||
| + | La idea es clacular el volumen a partir de la suma de elementos de volumen de tamaño infinitesimal | ||
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| + | <center><math>V = \int_V\mathrm{d}V</math></center> | ||
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| + | Entre los posibles elementos podemos considerar la esfera como compuesta de capas concéntricas , como las de una cebolla. Cada una de estas capas, de radio <math>r</math> comprendido entre <math>0</math> y <math>R</math>,es una lámina de área <math>4\pi r^2</math> y espesor <math>\mathrm{d}r</math>, por lo que tiene un volumen diferencial | ||
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| + | con lo que el volumen total será el conocido | ||
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==Masa== | ==Masa== | ||
| + | De manera análoga se calcula la masa de la esfera | ||
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| + | <center><math>M = \int_M \mathrm{d}m</math></center> | ||
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| + | Por ser la densidad uniforme para cada valor de <math>r</math>, la masa de cada una de las capas anteriores será igual a la densidad de masa multiplicada por el volumen | ||
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| + | <center><math>\mathrm{d}m = \rho\,\mathrm{d}V = 4\pi A(R-r)r^2\,\mathrm{d}r</math></center> | ||
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| + | Llevando esto a la integral | ||
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| + | <center><math>M = 4\pi A\int_0^R (R-r)r^2\,\mathrm{d}r = 4\pi A\left(R\int_0^R r^2\,\mathrm{d}r-\int_0^R r^3\,\mathrm{d}r\right)=4\pi A\left(\frac{R\frac{R^3}{3}-\frac{R^4}{4}\right)=\frac{\pi A R^4}{3}</math></center> | ||
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| + | Una comprobación que siempre conviene hacer es verificar que las dimensiones son correctas y que a la hora de descomponer en dos integrales, no nos hemos olvidado ninguna potencia de <math>R</math>. | ||
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==Densidad media== | ==Densidad media== | ||
| + | Una vez que tenemos el volumen y la masa total, la densidad media de masa es inmediata | ||
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| + | <center><math>\rho_m= \frac{M}{V}=\frac{\pi A R^4/3}{4\pi R^3/3} = \frac{AR}{4}</math></center> | ||
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| + | Obsérvese que ni el volumen, ni la masa, ni la densidad media son funciones de <math>r</math> sino solo de las constantes del problema, ya que no son funciones de la posición, sino que tienen un valor fijado para la esfera como un todo. | ||
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Revisión de 22:10 4 oct 2011
Contenido |
1 Enunciado
La densidad de masa de una esfera de radio R viene dada por la ley
Sabiendo que el área de una superficie esférica de radio r vale 4πr2, calcule el volumen y la masa de la esfera de radio R. ¿Cuánto vale su densidad media?
2 Volumen
La idea es clacular el volumen a partir de la suma de elementos de volumen de tamaño infinitesimal
| V = | ∫ | dV |
| V |
Entre los posibles elementos podemos considerar la esfera como compuesta de capas concéntricas , como las de una cebolla. Cada una de estas capas, de radio r comprendido entre 0 y R,es una lámina de área 4πr2 y espesor dr, por lo que tiene un volumen diferencial
con lo que el volumen total será el conocido
3 Masa
De manera análoga se calcula la masa de la esfera
| M = | ∫ | dm |
| M |
Por ser la densidad uniforme para cada valor de r, la masa de cada una de las capas anteriores será igual a la densidad de masa multiplicada por el volumen
Llevando esto a la integral
Una comprobación que siempre conviene hacer es verificar que las dimensiones son correctas y que a la hora de descomponer en dos integrales, no nos hemos olvidado ninguna potencia de R.
4 Densidad media
Una vez que tenemos el volumen y la masa total, la densidad media de masa es inmediata
Obsérvese que ni el volumen, ni la masa, ni la densidad media son funciones de r sino solo de las constantes del problema, ya que no son funciones de la posición, sino que tienen un valor fijado para la esfera como un todo.
