Campo de un tubo cilíndrico
De Laplace
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Sobre un cilindro de radio <math>a</math> y longitud infinita fluye una corriente superficial de densidad uniforme <math>\mathbf{K}</math>. Halle el campo magnético en todos los puntos del espacio. | Sobre un cilindro de radio <math>a</math> y longitud infinita fluye una corriente superficial de densidad uniforme <math>\mathbf{K}</math>. Halle el campo magnético en todos los puntos del espacio. | ||
| - | == | + | ==Introducción== |
| + | Aunque el enunciado no dice explícitamente hacia dónde se dirige la corriente, si esta es uniforme, no puede ser otra que | ||
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| + | <center><math>\mathbf{K}=K\mathbf{u}_{z}\,</math></center> | ||
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| + | Si supusiéramos, por ejemplo, una corriente <math>\mathbf{K}=K\mathbf{u}_{\varphi}</math> no sería uniforme, pues <math>\mathbf{u}_{\varphi}</math> depende de la posición. | ||
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| + | El problema puede resolverse empleando las ecuaciones de la magnetostática en forma diferencial y en forma integral. | ||
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| + | ==En forma integral== | ||
| + | ==En forma diferencial== | ||
| + | Tenemos que, como en el caso del cable grueso, existe simetría traslacional y rotacional. Por ello, ninguna de las tres componentes depende de <math>z</math> ni de <math>\varphi</math>. | ||
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| + | <center><math>\mathbf{B}_i = B_\rho(\rho)\mathbf{u}_\rho+B_\varphi(\rho)\mathbf{u}_\varphi+B_z(\rho)\mathbf{u}_z\qquad i = 1,2</math></center> | ||
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| + | donde denominamos región 1 al interior del tubo y región 2 al exterior. | ||
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| + | Aplicando la ley de Gauss para el campo magnético resulta | ||
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| + | <center><math>0 = \nabla\cdot\mathbf{B} = \frac{1}{\rho}\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}\rho}\left(\rho B_\rho\right)\quad\Rightarrow\quad B_\rho = \frac{k_i}{\rho}</math></center> | ||
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| + | siendo <math>k_i</math> dos constantes, una para el interior del tubo y otra para el exterior | ||
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| + | Ahora bien, puesto que el campo no puede tender a 0 en <math>\rho = 0</math>, ya que el campo no puede diverger donde no hay corrientes, resulta que | ||
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| + | <math>k_1 = 0\,</math> | ||
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| + | y aplicando ahora la condición de salto para la componente normal | ||
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| + | <center><math>0 = \mathbf{n}\cdot[\mathbf{B}] = \mathbf{u}_\rho\cdot\left(\mathbf{B}_2(a^+)-\mathbf{B}_1(a^-)\right) = \frac{k_2}{a}-0\quad\Rightarrow\quad k_2 = 0</math></center> | ||
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| + | y por tanto, como consecuencia de la ley de Gauss para el campo magnético, la componente radial es nula en todo el espacio. | ||
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| + | <center><math>B_\rho=0\,</math></center> | ||
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| + | Del mismo modo, al no haber corrientes de volumen, los campos en el interior y el exterior pueden escribirse como | ||
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| + | <center><math>B_{1z}=a_1\qquad B_{2z}=a_2\qquad B_{1\varphi}=\frac{c_1}{\rho}\qquad B_{2\varphi}=\frac{c_2}{\rho}</math></center> | ||
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| + | La condición de que el campo no sea singular en el eje significa | ||
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| + | <center><math>c_1=0\,</math></center> | ||
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| + | mientras que la anulación del campo en el infinito supone | ||
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| + | <center><math>a_2=0\,</math></center> | ||
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| + | Las otras dos constantes se obtienen de la condición de salto, que en este caso es | ||
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| + | <center><math>\mathbf{n}\times[\mathbf{B}]=a_1\mathbf{u}_{\varphi}+\frac{k_2}{R}\mathbf{u}_{z}=\mu_0\mathbf{K}=\mu_0 K\mathbf{u}_{z} | ||
| + | \quad\Rightarrow\quad a_1=0\qquad k_2=\mu_0 K a</math></center> | ||
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| + | con lo que el resultado final es que el campo se anula en el interior | ||
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| + | <center><math>\mathbf{B}_1=0\,</math></center> | ||
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| + | y en el exterior decae como la inversa de la distancia al eje | ||
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| + | <center><math>\mathbf{B}_2=\frac{\mu_0 K a}{\rho}\mathbf{u}_{\varphi}</math></center> | ||
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| + | Este campo exterior es idéntico al de un hilo de corriente cuya intensidad es | ||
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| + | <center><math>\mathbf{B}=\frac{\mu_0I}{2\pi\rho}\mathbf{u}_{\varphi}\quad\Rightarrow\quad I=2\pi a K</math></center> | ||
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| + | Esta corriente es justamente la cantidad total que fluye a través de una sección del tubo de corriente. Resulta entonces que el campo debido a un tubo hueco por el cual circula una corriente longitudinal, es nulo en el exterior y en el interior es el mismo que habría si toda la corriente circulara por el centro del tubo. | ||
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[[Categoría:Problemas de campo magnético de corrientes estacionarias]] | [[Categoría:Problemas de campo magnético de corrientes estacionarias]] | ||
Revisión de 17:00 30 may 2011
Contenido |
1 Enunciado
Sobre un cilindro de radio a y longitud infinita fluye una corriente superficial de densidad uniforme 
. Halle el campo magnético en todos los puntos del espacio.
2 Introducción
Aunque el enunciado no dice explícitamente hacia dónde se dirige la corriente, si esta es uniforme, no puede ser otra que
Si supusiéramos, por ejemplo, una corriente 
no sería uniforme, pues 
depende de la posición.
El problema puede resolverse empleando las ecuaciones de la magnetostática en forma diferencial y en forma integral.
3 En forma integral
4 En forma diferencial
Tenemos que, como en el caso del cable grueso, existe simetría traslacional y rotacional. Por ello, ninguna de las tres componentes depende de z ni de 
.
donde denominamos región 1 al interior del tubo y región 2 al exterior.
Aplicando la ley de Gauss para el campo magnético resulta
siendo ki dos constantes, una para el interior del tubo y otra para el exterior
Ahora bien, puesto que el campo no puede tender a 0 en ρ = 0, ya que el campo no puede diverger donde no hay corrientes, resulta que
y aplicando ahora la condición de salto para la componente normal
![0 = \mathbf{n}\cdot[\mathbf{B}] = \mathbf{u}_\rho\cdot\left(\mathbf{B}_2(a^+)-\mathbf{B}_1(a^-)\right) = \frac{k_2}{a}-0\quad\Rightarrow\quad k_2 = 0](/wiki/images/math/1/5/6/156f1ee60f27b7683e51a2990b1272e4.png)
y por tanto, como consecuencia de la ley de Gauss para el campo magnético, la componente radial es nula en todo el espacio.
Del mismo modo, al no haber corrientes de volumen, los campos en el interior y el exterior pueden escribirse como
La condición de que el campo no sea singular en el eje significa
mientras que la anulación del campo en el infinito supone
Las otras dos constantes se obtienen de la condición de salto, que en este caso es
![\mathbf{n}\times[\mathbf{B}]=a_1\mathbf{u}_{\varphi}+\frac{k_2}{R}\mathbf{u}_{z}=\mu_0\mathbf{K}=\mu_0 K\mathbf{u}_{z}
\quad\Rightarrow\quad a_1=0\qquad k_2=\mu_0 K a](/wiki/images/math/9/8/a/98af96c325e7cc86287918ef4f79a6a7.png)
con lo que el resultado final es que el campo se anula en el interior
y en el exterior decae como la inversa de la distancia al eje
Este campo exterior es idéntico al de un hilo de corriente cuya intensidad es
Esta corriente es justamente la cantidad total que fluye a través de una sección del tubo de corriente. Resulta entonces que el campo debido a un tubo hueco por el cual circula una corriente longitudinal, es nulo en el exterior y en el interior es el mismo que habría si toda la corriente circulara por el centro del tubo.
