Condensador relleno de un medio estratificado
De Laplace
(→Cálculo de los campos) |
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| Línea 23: | Línea 23: | ||
Si suponemos despreciables los efectos de borde y admitimos que los campos van en línea recta de una placa a la otra, escribimos el campo eléctrico y el vector desplazamiento como | Si suponemos despreciables los efectos de borde y admitimos que los campos van en línea recta de una placa a la otra, escribimos el campo eléctrico y el vector desplazamiento como | ||
| - | <center><math>\mathbf{E}=E\mathbf{u}_z\qquad\qquad\mathbf{D}=D\mathbf{u}_z</math></center> | + | <center><math>\mathbf{E}=E\mathbf{u}_z\qquad\qquad\mathbf{D}=D\mathbf{u}_z</math></center> |
lo cual sustituyendo en las ecuaciones de la electrostática nos da, para la ley de Gauss | lo cual sustituyendo en las ecuaciones de la electrostática nos da, para la ley de Gauss | ||
| - | <center><math>\nabla\cdot\mathbf{D} = 0 + 0 + \frac{\partial D}{\partial z} | + | <center><math>0 = \nabla\cdot\mathbf{D} = 0 + 0 + \frac{\partial D}{\partial z}</math></center> |
| + | y para la irrotacionalidad del campo eléctrico | ||
| + | <center><math>\mathbf{0}=\nabla\times\mathbf{E}=\left|\begin{array} \mathbf{u}_x & \mathbf{u}_y & \mathbf{u}_z \\ & & \\ \displaystyle\frac{\partial }{\partial x} & \displaystyle\frac{\partial }{\partial y} & \displaystyle\frac{\partial }{\partial z} \\ & & \\ 0 & 0 & E\end{array}\right| = \frac{\partial E}{\partial y}\mathbf{u}_x - \frac{\partial E}{\partial x} \mathbf{u}_y</math></center> | ||
| + | |||
| + | puesto que un vector se anula cuando se anulan sus componentes, este sistema equivale a las ecuaciones | ||
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| + | <center><math>\frac{\partial E}{\partial z} = 0 \qquad \frac{\partial E}{\partial y} = 0 \qquad \frac{\partial D}{\partial z} = 0</math></center> | ||
==Densidades de carga== | ==Densidades de carga== | ||
==Energía almacenada== | ==Energía almacenada== | ||
[[Categoría:Problemas de materiales dieléctricos]] | [[Categoría:Problemas de materiales dieléctricos]] | ||
Revisión de 18:03 21 may 2011
Contenido |
1 Enunciado
Un medio estratificado es aquel cuyas propiedades dependen de la altura z. Un material de este tipo se coloca entre dos placas conductoras planas y paralelas, separadas una distancia a. La permitividad del material varía de 
a 
en
la forma
Si se aplica una diferencia de potencial V0 entre las placas,
- ¿Cuánto valen los campos
, 
y 
en todos los puntos del material?
- ¿Cuál es la densidad de carga de polarización (tanto superficial como de volumen)?
- Halle la energía almacenada en el sistema
Desprecie los efectos de borde.
2 Cálculo de los campos
Por tratarse de una situación electrostática y no haber carga libre en el dieléctrico, por ser este ideal, se cumple
Si suponemos despreciables los efectos de borde y admitimos que los campos van en línea recta de una placa a la otra, escribimos el campo eléctrico y el vector desplazamiento como
lo cual sustituyendo en las ecuaciones de la electrostática nos da, para la ley de Gauss
y para la irrotacionalidad del campo eléctrico
puesto que un vector se anula cuando se anulan sus componentes, este sistema equivale a las ecuaciones
