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Pista en forma de H

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)
(→Fijando las tensiones simultáneamente=)
(→Fijando las tensiones simultáneamente=)
Línea 55: Línea 55:
<center><math>\mathbf{I}=\mathsf{G}\cdot\mathbf{V}=\mathsf{R}^{-1}\mathbf{V}\,</math>{{tose}}<math>\begin{pmatrix}I_1 \\ I_2 \\ I_3\end{pmatrix}=\frac{1}{6R_0}\begin{pmatrix}4 & -2 & -1 \\ -2 & 4 & -1 \\ -1 & -1 & 4\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}V_1 \\ V_2 \\ V_3\end{pmatrix}</math></center>
<center><math>\mathbf{I}=\mathsf{G}\cdot\mathbf{V}=\mathsf{R}^{-1}\mathbf{V}\,</math>{{tose}}<math>\begin{pmatrix}I_1 \\ I_2 \\ I_3\end{pmatrix}=\frac{1}{6R_0}\begin{pmatrix}4 & -2 & -1 \\ -2 & 4 & -1 \\ -1 & -1 & 4\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}V_1 \\ V_2 \\ V_3\end{pmatrix}</math></center>
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o, separando por coeficientes
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o, separando por coeficientes,
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<center><math>G_{11}=G_{22}=G_{33}=\frac{2}{3R_0}</math>{{qquad}}<math>G_{12}=G_{21}=\frac{1}{3R_0}</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>G_{13}=G_{23}=G_{31}=G_{32}=\frac{1}{6R_0}</math></center>
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<center><math>G_{11}=G_{22}=G_{33}=\frac{2}{3R_0}</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>G_{12}=G_{21}=\frac{1}{3R_0}</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>G_{13}=G_{23}=G_{31}=G_{32}=\frac{1}{6R_0}</math></center>
==Circuito equivalente==
==Circuito equivalente==

Revisión de 19:41 12 mar 2011

Contenido

1 Enunciado

Se tiene un circuito impreso en forma de "H" de un material de conductividad σ, con cuatro terminales, una de las cuales se encuentra permanentemente a tierra. Los brazos de la H y el tabique central poseen longitud b. Los cuatro brazos tienen anchura a, (a\ll b) mientras que el tramo central posee anchura 2a, según indica la figura. El espesor de toda la pista es c.
  1. Determine la matriz de los coeficientes de conductancia, Gij, correspondiente a los tres terminales libres. Desprecie la pequeña contribución de las esquinas donde confluyen los brazos.
  2. A partir de la matriz anterior, calcule las conductancias \overline{G}_{ij} y elabore un circuito equivalente al sistema de tres electrodos, que no emplee nodos intermedios.
  3. Determine la potencia consumida en la pista cuando el terminal 1 se encuentra a potencial V0 y los otros a tierra.
  4. En la configuración anterior se corta la conexión a tierra del electrodo 2. En el nuevo estado estacionario, ¿se consume más o menos potencia que antes de la desconexión? ¿Cuánto?

2 Coeficientes de conductancia

2.1 Aproximación de conductores filiformes

Puesto que la longitud de las barras es muy superior a su anchura, es una aproximación razonable el tratar cada una de ellas como un conductor filiforme, de longitud b y sección transversal ac en las barras laterales y 2ac en la central.

Podemos aproximar entonces el sistema mediante un circuito equivalente formado por cinco resistores conectados en dos nodos centrales, que etiquetaremos como “A” y “B”.

Este circuito equivalente no es, no obstante, el mínimo posible. Más adelante veremos como se puede construir uno que no requiera nodos adicionales.

Los valores de las resistencias de las patas son todas iguales entre sí y a

R_0= \frac{b}{\sigma a c}

mientras que la barra central, de doble anchura, tiene resistencia la mitad de esta

R' = \frac{b}{\sigma(2a) c} = \frac{R_0}{2}

Puede argumentarse que una mejor aproximación a la longitud de estos conductores sería (b + a / 2) para las barras laterales y (b + a) para la central. Siempre que estemos en la aproximación b\gg a esta corrección es despreciable. Al final veremos cuánto mejoraría el resultado al incluirla.

Para hallar los coeficientes de conductancia podemos hacerlo de dos formas:

  • Suponer sucesivamente cada uno de los electrodos a potencial V0 y hallar la corriente que entra por cada uno. De esta forma calculamos una a una las columnas de la matriz de coeficientes de conductancia.
  • Suponer simultáneamente tensiones diferentes Vi en los distintos electrodos y hallar la corriente que entra por cada uno. Así se halla matriz completa de una sola operación, pero de manera más complicada que en la anterior.

2.2 Fijando tensiones sucesivamente

Suponemos entonces el electrodo 1 a potencial V0 y los otros dos y el de referencia a tierra. Si llamamos VA a la tensión del nodo central más próximo al electrodo 1 y VB al más alejado de este electrodo, tenemos las siguientes ecuaciones, por aplicación reiterada de la ley de Ohm

3 Fijando las tensiones simultáneamente=

Suponemos ahora el electrodo 1 a potencial V1, el 2 a V2 y el 3 a V3 y los otros dos y el de referencia a tierra. Si llamamos VA a la tensión del nodo central más próximo al electrodo 1 y VB al más alejado de este electrodo, tenemos las siguientes ecuaciones, por aplicación reiterada de la ley de Ohm

V_1 - V_A = I_1R_0\,        V_2 - V_A = I_2R_0\,        V_3 - V_B = I_3R_0\,        V_A - V_B = \left(I_1+I_2\right)\frac{R_0}{2}\,        V_B = \left(I_1+I_2+I_3\right)R_0\,

Eliminando V_A y V_B de estas ecuaciones llegamos a

<math>V_1 = \left(5I_1+3I_2+2I_3\right)\frac{R_0}{2}        V_2 = \left(3I_1+5I_2+2I_3\right)\frac{R_0}{2}        V_3 = \left(2I_1+2I_2+4I_3\right)\frac{R_0}{2}</math>

que podemos expresar en forma matricial como

\begin{pmatrix}V_1 \\ V_2 \\ V_3\end{pmatrix}=\frac{R_0}{2}\begin{pmatrix}5 & 3 & 2 \\ 3 & 5 & 2 \\ 2 & 2 & 4\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}I_1 \\ I_2 \\ I_3\end{pmatrix}

o, simbólicamente

\mathbf{V}=\mathsf{R}\mathbf{I}\,

Invirtiendo esta relación matricial llegamos a la matriz de coeficientes de conductancia

\mathbf{I}=\mathsf{G}\cdot\mathbf{V}=\mathsf{R}^{-1}\mathbf{V}\,   \Rightarrow   \begin{pmatrix}I_1 \\ I_2 \\ I_3\end{pmatrix}=\frac{1}{6R_0}\begin{pmatrix}4 & -2 & -1 \\ -2 & 4 & -1 \\ -1 & -1 & 4\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}V_1 \\ V_2 \\ V_3\end{pmatrix}

o, separando por coeficientes,

G_{11}=G_{22}=G_{33}=\frac{2}{3R_0}        G_{12}=G_{21}=\frac{1}{3R_0}        G_{13}=G_{23}=G_{31}=G_{32}=\frac{1}{6R_0}

4 Circuito equivalente

5 Potencia consumida

6 Cambio en la potencia

Obtenido de "http://tesla.us.es/wiki/index.php/Pista_en_forma_de_H"

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