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6.8. Barra horizontal apoyada en disco

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)
(Página creada con '==Enunciado== El sistema de la figura consta de un disco (sólido “0”), de centro O y radio <math>R</math>, que rueda sin deslizar sobre el eje horizontal <math>O_1X…')
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==Reducciones cinemáticas==
==Reducciones cinemáticas==
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===Movimiento {21}===
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La barra &ldquo;2&rdquo; efectúa un movimiento de traslación respecto al sólido &ldquo;1&rdquo;, por lo que la velocidad angular de este movimiento es nula y la velocidad de traslación es la misma para todos los puntos, en particular el centro del disco, O.
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===Movimiento {01}===
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Al ser el contacto entre el disco y el eje horizontal una rodadura sin deslizamiento, el movimiento relativo es una rotación en torno a este punto. Por ello
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<center><math>\vec{v}^O_{01}=\omega_{01}\vec{k}\times\overrightarrow{AO}</math></center>
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La velocidad angular la obtenemos de que podemos hallar la velocidad del punto B, de contacto del disco y la barra, en el movimiento {01}, por ser este contacto también una rodadura sin deslizamiento
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La velocidad de este punto cumple igualmente
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<center><math>\vec{v}^B_{01}=\omega_{01}\vec{k}\times\overrightarrow{AB}=\omega_{01}\vec{k}\times(2R\vec{\jmath}_1)=-2R\omega_{01}\vec{\imath}_1</math></center>
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Igualando las dos expresiones obtenemos la velocidad angular
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y la velocidad del punto O
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===Movimiento {20}===
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Una vez que tenemos dos de las reducciones cinemáticas, podemos hallar la tercera mediante la composición de movimientos. Para la velocidad angular
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y para la lineal
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<center><math>\vec{v}^O_{20}=\vec{v}^O_{21}+\vec{v}^O_{10}=v_0\vec{\imath}_0-\frac{v_0}{2}\vec{\imath}_1=\frac{v_0}{2}\vec{\imath}_1</math></center>
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===Movimiento {20}===
==Aceleración==
==Aceleración==
[[Categoría:Problemas de movimiento plano (G.I.T.I.)]]
[[Categoría:Problemas de movimiento plano (G.I.T.I.)]]

Revisión de 19:02 9 ene 2011

Contenido

1 Enunciado

El sistema de la figura consta de un disco (sólido “0”), de centro O y radio R, que rueda sin deslizar sobre el eje horizontal O1X1 de la escuadra fija O1X1Y1 (sólido “1”); y de una barra de longitud indefinida (sólido “2”), que se desplaza horizontalmente con velocidad constante v0, manteniéndose siempre en contacto tangente con el perímetro del disco (punto A) y sin deslizar sobre éste. Se pide:

  1. Reducciones cinemáticas de los movimientos {21}, {01} y {20} en el centro del disco (punto O), es decir: \{\vec{\omega}_{\! 21};\,\vec{v}^{\, O}_{21}\}, \{\vec{\omega}_{\,01};\,\vec{v}^{\, O}_{\,01}\} y \{\vec{\omega}_{\,20};\,\vec{v}^{\, O}_{20}\}.
  2. Aceleración relativa barra-disco del punto de contacto A, es decir: \vec{a}^{A}_{20}.
Archivo:barra-apoyada-disco.png

2 Reducciones cinemáticas

2.1 Movimiento {21}

La barra “2” efectúa un movimiento de traslación respecto al sólido “1”, por lo que la velocidad angular de este movimiento es nula y la velocidad de traslación es la misma para todos los puntos, en particular el centro del disco, O.

\vec{\omega}_{21}=\vec{0}        \vec{v}^O_{21}=v_0\vec{\imath}_1

2.2 Movimiento {01}

Al ser el contacto entre el disco y el eje horizontal una rodadura sin deslizamiento, el movimiento relativo es una rotación en torno a este punto. Por ello

\vec{v}^O_{01}=\omega_{01}\vec{k}\times\overrightarrow{AO}

La velocidad angular la obtenemos de que podemos hallar la velocidad del punto B, de contacto del disco y la barra, en el movimiento {01}, por ser este contacto también una rodadura sin deslizamiento

\vec{v}^B_{01}=\overbrace{\vec{v}^B_{02}}^{=\vec{0}}+\vec{v}^B_{21}=v_0\vec{\imath}_1

La velocidad de este punto cumple igualmente

\vec{v}^B_{01}=\omega_{01}\vec{k}\times\overrightarrow{AB}=\omega_{01}\vec{k}\times(2R\vec{\jmath}_1)=-2R\omega_{01}\vec{\imath}_1

Igualando las dos expresiones obtenemos la velocidad angular

\vec{\omega}_{01}=-\frac{v_0}{2R}\vec{k}

y la velocidad del punto O

\vec{v}^O_{01}=-\frac{v_0}{2R}\vec{k}\times(R\vec{\jmath}_0)=\frac{v_0}{2}\vec{\imath}_1

2.3 Movimiento {20}

Una vez que tenemos dos de las reducciones cinemáticas, podemos hallar la tercera mediante la composición de movimientos. Para la velocidad angular

\omega_{20}=\omega_{21}+\omega_{10}=\overbrace{\omega_{21}}^{=0}-\omega_{01}=\frac{v_0}{2R}

y para la lineal

\vec{v}^O_{20}=\vec{v}^O_{21}+\vec{v}^O_{10}=v_0\vec{\imath}_0-\frac{v_0}{2}\vec{\imath}_1=\frac{v_0}{2}\vec{\imath}_1

2.4 Movimiento {20}

3 Aceleración

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