Campos equiproyectivos y campo de momentos
De Laplace
(→Equiproyectividad aplicada a <math>(\vec{0},\vec{\imath})</math>, <math>(\vec{0},\vec{\jmath})</math> y <math>(\vec{0},\vec{k})</math>) |
(→Referencia al origen) |
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Este campo cumple | Este campo cumple | ||
| - | <center><math>\vec{u}(\vec{r}_1)\cdot\left(\vec{r}_2-\vec{r}_1\right)= \vec{u}(\vec{r}_2)\cdot\left(\vec{r}_2-\vec{r}_1\right)</math> | + | <center><math>\vec{u}(\vec{r}_1)\cdot\left(\vec{r}_2-\vec{r}_1\right)= \vec{u}(\vec{r}_2)\cdot\left(\vec{r}_2-\vec{r}_1\right)</math>{{qquad}}<math>\vec{u}(\vec{0})=\vec{0}</math></center> |
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====Equiproyectividad aplicada a cada vector de la base con el origen==== | ====Equiproyectividad aplicada a cada vector de la base con el origen==== | ||
Revisión de 10:28 18 jun 2008
Contenido |
1 Enunciado del teorema
Un campo vectorial es equiproyectivo sí y solo sí es un campo de momentos de un vector deslizante.
2 Demostración
2.1 Campo equiproyectivo implica campo de momentos
La condición de equiproyectividad para un campo vectorial 
puede expresarse como que para cualesquiera dos puntos 
y 
se verifica
se trata de demostrar que si se cumple esta condición, puede escribirse en la forma
Para demostrarlo, suponemos un sistema de referencia con origen en el punto 
y cuyos ejes vienen caracterizados por los vectores unitarios 
, 
y 
.
2.1.1 Referencia al origen
Definamos en primer lugar el campo, también equiproyectivo
Este campo cumple
2.1.2 Equiproyectividad aplicada a cada vector de la base con el origen
Si aplicamos la condición de equiproyectividad de 
a los dos puntos 
y nos queda
esto quiere decir que 
es ortogonal a , esto es, no posee componente X y puede escribirse como
Aplicando el mismo razonamiento a y a nos queda
2.1.3 Equiproyectividad aplicada a pares de vectores de la base
La condición de equiproyectividad también puede aplicarse al par de puntos y . En este caso tenemos
Operando igualmente con los otros dos pares nos queda
Si llamamos
el valor de en , y se escribe
\vec{u}(\vec{\jmath}) = -\omega_z\vec{\imath}+\omega_x\vec{k}</math> \vec{u}(\vec{k}) = \omega_y\vec{\imath}-\omega_x\vec{\jmath}</math>
