Campos equiproyectivos y campo de momentos
De Laplace
(→Equiproyectividad aplicada a <math>(\vec{\imath},\vec{\jmath})</math>, <math>(\vec{\imath},\vec{k}))</math> y <math>(\vec{\jmath},\vec{k})</math>) |
(→Equiproyectividad aplicada a <math>(\vec{\imath},\vec{\jmath})</math>, <math>(\vec{\imath},\vec{k}))</math> y <math>(\vec{\jmath},\vec{k})</math>) |
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La condición de equiproyectividad también puede aplicarse al par de puntos <math>\vec{\imath}</math> y <math>\vec{\jmath}</math>. En este caso tenemos | La condición de equiproyectividad también puede aplicarse al par de puntos <math>\vec{\imath}</math> y <math>\vec{\jmath}</math>. En este caso tenemos | ||
| - | <center><math>\vec{u}(\vec{\imath})\cdot\left(\vec{\imath}-\vec{\jmath}) = \vec{u}(\vec{\jmath})\cdot\left(\vec{\imath}-\vec{\jmath})</math>{{tose}}<math>-a = c\,</math></center> | + | <center><math>\vec{u}(\vec{\imath})\cdot\left(\vec{\imath}-\vec{\jmath}\right) = \vec{u}(\vec{\jmath})\cdot\left(\vec{\imath}-\vec{\jmath}\right)</math>{{tose}}<math>-a = c\,</math></center> |
Operando igualmente con los otros dos pares nos queda | Operando igualmente con los otros dos pares nos queda | ||
Revisión de 09:26 18 jun 2008
Contenido |
1 Enunciado del teorema
Un campo vectorial es equiproyectivo sí y solo sí es un campo de momentos de un vector deslizante.
2 Demostración
2.1 Campo equiproyectivo implica campo de momentos
La condición de equiproyectividad para un campo vectorial 
puede expresarse como que para cualesquiera dos puntos 
y 
se verifica
se trata de demostrar que si se cumple esta condición, puede escribirse en la forma
Para demostrarlo, suponemos un sistema de referencia con origen en el punto 
y cuyos ejes vienen caracterizados por los vectores unitarios 
, 
y 
.
2.1.1 Referencia al origen
Definamos en primer lugar el campo, también equiproyectivo
Este campo cumple
2.1.2 Equiproyectividad aplicada a 
, 
y 
Si aplicamos la condición de equiproyectividad de 
a los dos puntos 
y nos queda
esto quiere decir que 
es ortogonal a , esto es, no posee componente X y puede escribirse como
Aplicando el mismo razonamiento a y a nos queda
2.1.3 Equiproyectividad aplicada a 
, 
y 
La condición de equiproyectividad también puede aplicarse al par de puntos y . En este caso tenemos
Operando igualmente con los otros dos pares nos queda
Si llamamos
el valor de en , y se escribe
\vec{u}(\vec{\jmath}) = -\omega_z\vec{\imath}+\omega_x\vec{k}</math> \vec{u}(\vec{k}) = \omega_y\vec{\imath}-\omega_x\vec{\jmath}</math>
