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Campos equiproyectivos y campo de momentos

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)
(→Campo equiproyectivo implica campo de momentos)
(→Equiproyectividad aplicada a <math>\vec{\imath}</math>, <math>\vec{\jmath}</math> y <math>\vec{k}</math>)
Línea 24: Línea 24:
<center><math>\vec{u}(\vec{0})=\vec{0}</math></center>
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====Equiproyectividad aplicada a <math>\vec{\imath}</math>, <math>\vec{\jmath}</math> y <math>\vec{k}</math>====
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====Equiproyectividad aplicada a <math>(\vec{0},\vec{\imath})</math>, <math>(\vec{0},\vec{\jmath})</math> y <math>(\vec{0},\vec{k})</math>====
Si aplicamos la condición de equiproyectividad de <math>\vec{u}</math> a los dos puntos <math>\vec{r}_1=\vec{\imath}</math> y <math>\vec{0}</math> nos queda
Si aplicamos la condición de equiproyectividad de <math>\vec{u}</math> a los dos puntos <math>\vec{r}_1=\vec{\imath}</math> y <math>\vec{0}</math> nos queda
Línea 30: Línea 30:
<center><math>\vec{u}(\vec{\imath})\cdot\vec{\imath} = \vec{u}(\vec{0})\cdot\vec{\imath} = 0</math></center>
<center><math>\vec{u}(\vec{\imath})\cdot\vec{\imath} = \vec{u}(\vec{0})\cdot\vec{\imath} = 0</math></center>
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esto quiere decir que <math>\vec{u}(\vec{\imath}}</math> es ortogonal a <math>\vec{\imath}</math>, esto es, no posee componente <math>X</math> y puede escribirse como
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esto quiere decir que <math>\vec{u}(\vec{\imath})</math> es ortogonal a <math>\vec{\imath}</math>, esto es, no posee componente <math>X</math> y puede escribirse como
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<center><math>\vec{u}(\vec{\imath}} = a\vec{\jmath} + b\vec{k}</math></center>
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Aplicando el mismo razonamiento a <math>\vec{\jmath}</math> y a <math>\vec{k}</math> nos queda
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<center><math>\vec{u}(\vec{\jmath}) = c\vec{\imath} + d\vec{k}</math>{{qquad}}<math>\vec{u}(\vec{k}) = c\vec{\imath} + f\vec{\jmath}</math></center>
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====Equiproyectividad aplicada a <math>(\vec{\imath},\vec{\jmath})</math>, <math>(\vec{\imath},\vec{k}))</math> y <math>(\vec{\jmath},\vec{k})</math>====
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La condición de equiproyectividad también puede aplicarse al par de puntos <math>\vec{\imath}</math> y <math>\vec{\jmath}</math>. En este caso tenemos
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<center><math>\vec{u}(\vec{\imath})\cdot\left(\vec{\imath}-\vec{\jmath}) = \vec{u}(\vec{\jmath})\cdot\left(\vec{\imath}-\vec{\jmath})</math>{{tose}}<math>-a = c\,</math></center>
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Operando igualmente con los otros dos pares nos queda
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<center><math>-b = e</math>{{qquad}}<math>-d = f</math></center>
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Si llamamos
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<center><math>\omega_x = d = -f</math>{{qquad}}<math>\omega_y = e = -b</math>{{qquad}}<math>\omega_z = a = -c</math></center>
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el valor de <math>\vec{u}</math> en <math>\vec{\imath}</math>, <math>\vec{\jmath}</math> y <math>\vec{k}</math> se escribe
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<center><math>\vec{u}(\vec{\imath}) = \omega_z\vec{\jmath}-\omega_y\vec{k}</math>{{qquad}}\vec{u}(\vec{\jmath}) = -\omega_z\vec{\imath}+\omega_x\vec{k}</math>{{qquad}}\vec{u}(\vec{k}) = \omega_y\vec{\imath}-\omega_x\vec{\jmath}</math></center>
===Campo de momentos implica campo equiproyectivo===
===Campo de momentos implica campo equiproyectivo===

Revisión de 09:25 18 jun 2008

Contenido

1 Enunciado del teorema

Un campo vectorial es equiproyectivo sí y solo sí es un campo de momentos de un vector deslizante.

2 Demostración

2.1 Campo equiproyectivo implica campo de momentos

La condición de equiproyectividad para un campo vectorial \vec{v}(\vec{r}) puede expresarse como que para cualesquiera dos puntos \vec{r}_1 y \vec{r}_2 se verifica

\vec{v}(\vec{r}_1)\cdot\left(\vec{r}_2-\vec{r}_1\right)= \vec{v}(\vec{r}_2)\cdot\left(\vec{r}_2-\vec{r}_1\right)

se trata de demostrar que si se cumple esta condición, \vec{v}(\vec{r}) puede escribirse en la forma

\vec{v}(\vec{r})=\vec{v}_0+\vec{\omega}\times\vec{r}

Para demostrarlo, suponemos un sistema de referencia con origen en el punto \vec{0} y cuyos ejes vienen caracterizados por los vectores unitarios \vec{\imath}, \vec{\jmath} y \vec{k}.

2.1.1 Referencia al origen

Definamos en primer lugar el campo, también equiproyectivo

\vec{u}(\vec{r}) = \vec{v}(\vec{r})-\vec{v}(O)

Este campo cumple

\vec{u}(\vec{r}_1)\cdot\left(\vec{r}_2-\vec{r}_1\right)= \vec{u}(\vec{r}_2)\cdot\left(\vec{r}_2-\vec{r}_1\right)
\vec{u}(\vec{0})=\vec{0}

2.1.2 Equiproyectividad aplicada a (\vec{0},\vec{\imath}), (\vec{0},\vec{\jmath}) y (\vec{0},\vec{k})

Si aplicamos la condición de equiproyectividad de \vec{u} a los dos puntos \vec{r}_1=\vec{\imath} y \vec{0} nos queda

\vec{u}(\vec{\imath})\cdot\vec{\imath} = \vec{u}(\vec{0})\cdot\vec{\imath} = 0

esto quiere decir que \vec{u}(\vec{\imath}) es ortogonal a \vec{\imath}, esto es, no posee componente X y puede escribirse como

\vec{u}(\vec{\imath}) = a\vec{\jmath} + b\vec{k}

Aplicando el mismo razonamiento a \vec{\jmath} y a \vec{k} nos queda

\vec{u}(\vec{\jmath}) = c\vec{\imath} + d\vec{k}    \vec{u}(\vec{k}) = c\vec{\imath} + f\vec{\jmath}

2.1.3 Equiproyectividad aplicada a (\vec{\imath},\vec{\jmath}), (\vec{\imath},\vec{k})) y (\vec{\jmath},\vec{k})

La condición de equiproyectividad también puede aplicarse al par de puntos \vec{\imath} y \vec{\jmath}. En este caso tenemos

No se pudo entender (Falta el ejecutable de <strong>texvc</strong>. Por favor, lea <em>math/README</em> para configurarlo.): \vec{u}(\vec{\imath})\cdot\left(\vec{\imath}-\vec{\jmath}) = \vec{u}(\vec{\jmath})\cdot\left(\vec{\imath}-\vec{\jmath})    \Rightarrow   -a = c\,

Operando igualmente con los otros dos pares nos queda

− b = e     − d = f

Si llamamos

ωx = d = − f    ωy = e = − b    ωz = a = − c

el valor de \vec{u} en \vec{\imath}, \vec{\jmath} y \vec{k} se escribe

\vec{u}(\vec{\imath}) = \omega_z\vec{\jmath}-\omega_y\vec{k}    \vec{u}(\vec{\jmath}) = -\omega_z\vec{\imath}+\omega_x\vec{k}</math>    \vec{u}(\vec{k}) = \omega_y\vec{\imath}-\omega_x\vec{\jmath}</math>

2.2 Campo de momentos implica campo equiproyectivo

Obtenido de "http://tesla.us.es/wiki/index.php/Campos_equiproyectivos_y_campo_de_momentos"

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