4.7. Ejemplo de movimiento de precesión

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)

Revisión de 11:38 14 nov 2010

Contenido

1 Enunciado
2 Velocidad instantánea
3 Aceleración instantánea
4 Componentes intrínsecas

1 Enunciado

El movimiento de precesión de una peonza puede describirse como una rotación en torno a un eje instantáneo que a su vez está rotando, manteniéndose fijo el punto de apoyo. Supongamos el caso particular

$\vec{v}^O =\vec{0}\qquad\qquad\vec{\omega}=3\cos(t)\vec{\imath}+3\,\mathrm{sen}(t)\vec{\jmath}+4\vec{k}$

Consideremos el punto $\overrightarrow{OA}=\vec{k}$

Determine la velocidad de este punto en cada instante.
Determine la aceleración de A en todo instante.
Halle, para cada instante, las componentes intrínsecas de la aceleración y el radio de curvatura en el mismo punto.

Todas las cantidades están expresadas en las unidades del SI.

2 Velocidad instantánea

Por tratarse de una rotación pura

$\vec{v}^A = \overbrace{\vec{v}^O}^{=\vec{0}} + \vec{\omega}\times\overrightarrow{OA} \left|\begin{matrix}\vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k}\\ 3\cos(t) & 3\,\mathrm{sen}(t) & 4 \\ 0 & 0 & 1\end{matrix}\right|=3\,\mathrm{sen}(t)\vec{\imath}-3\cos(t)\vec{\jmath}$

3 Aceleración instantánea

El campo de aceleraciones tiene la expresión general

$\vec{a}^A = \vec{a}^O + \vec{\alpha}\times\overrightarrow{OA}+\vec{\omega}\times(\vec{\omega}\times\overrightarrow{OA})=\vec{a}^O + \vec{\alpha}\times\overrightarrow{OA}+\vec{\omega}\times(\vec{v}^A-\vec{v}^O)$

En este caso la velocidad y la aceleración de O son nulas, por estar permanentemente en reposo, mientras que la aceleración angular vale

$\vec{v}^O=\vec{0}$ $\vec{a}^O = \frac{\mathrm{d}\vec{v}^O}{\mathrm{d}t}=\vec{0}$ $\vec{\alpha}=\frac{\mathrm{d}\vec{\omega}}{\mathrm{d}t}=-3\,\mathrm{sen}(t)\vec{\imath}+3\cos(t)\vec{\jmath}$

Sustituyendo

$\vec{a}^A = \vec{\alpha}\times\overrightarrow{OA}+\vec{\omega}\times\vec{v}^A = \left|\begin{matrix}\vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k}\\ -3\,\mathrm{sen}(t) & 3\cos(t) & 4 \\ 0 & 0 & 1\end{matrix}\right| + \left|\begin{matrix}\vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k}\\ 3\cos(t) & 3\,\mathrm{sen}(t) & 4 \\ 3\,\mathrm{sen}(t) & -3\cos(t) & 0\end{matrix}\right|= 3\cos(t)\vec{\imath}+3\,\mathrm{sen}(t)\vec{\jmath}$ $\begin{matrix} a_x & = & -16x + 15z\cos(t)+9 y \cos(t)\,\mathrm{sen}(t)-9 x \,\mathrm{sen}^2(t)\\ && \\ a_y & = & -16 y-9 y \cos^2(t)+15 z \,\mathrm{sen}(t)+9 x \cos(t) \,\mathrm{sen}(t)\\ && \\ a_z & = & 9 x \cos(t)-9 z \cos^2(t)+9 y \,\mathrm{sen}(t)-9 z \,\mathrm{sen}^2(t) \end{matrix}$

Puede comprobarse de manera inmediata que

$a_x \neq \frac{\partial v_x}{\partial t}=3z\cos(t)$

y lo mismo ocurre para el resto de las componentes. ¿Por qué pasa esto si sabemos que la aceleración de una partícula es la derivada de su velocidad respecto al tiempo? La razón es que no estamos derivando bien respecto al tiempo. La expresión de la velocidad no sólo depende del tiempo explícitamente, sino que también lo hace de forma implícita a través de las coordenadas posicionales $x$ , $y$ y $z$ , las cuales varían al desplazarse la partícula. Por tanto, si se desea obtener la aceleración a partir de la velocidad, será necesario realizar la derivada total respecto al tiempo utilizando la regla de la cadena.

4 Componentes intrínsecas

Particularizando para $x = y = 0$ , $z = 1$ obtenemos

$\vec{v}^A = 3\,\mathrm{sen}(t)\vec{\imath}-3\cos(t)\vec{\jmath}$ $\vec{a}^A = 15\cos(t)\vec{\imath}+15\,\mathrm{sen}(t)\vec{\jmath}-9\vec{k}$

Una vez que tenemos los vectores velocidad aceleración podemos hallar las componentes intrínsecas de la aceleración.

Aceleración tangencial: Proyectando sobre la velocidad

$\vec{a}^A_t = \frac{(\vec{a}^A\cdot\vec{v}^A)\vec{v}^A}{(v^A)^2} = \vec{0}$

Aceleración normal: Puesto que la aceleración tangencial es nula, toda la aceleración es normal

$\vec{a}^A_n = \vec{a}^A = 15\cos(t)\vec{\imath}+15\,\mathrm{sen}(t)\vec{\jmath}-9\vec{k}$

Radio de curvatura: Es inmediato conocida la aceleración normal y la celeridad

$R_c = \frac{(v^A)^2}{a^A_n} = \frac{3}{\sqrt{34}}$

@@ Línea 26: / Línea 26: @@
 En este caso la velocidad y la aceleración de O son nulas, por estar permanentemente en reposo, mientras que la aceleración angular vale
-<center><math>\vec{a}^O = \frac{\mathrm{d}\vec{v}^O}{\mathrm{d}t}=\vec{0}</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\vec{\alpha}=\frac{\mathrm{d}\vec{\omega}}{\mathrm{d}t}=-3\,\mathrm{sen}(t)\vec{\imath}+3\cos(t)\vec{\jmath}</math></center>
+<center><math>\vec{v}^O=\vec{0}</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\vec{a}^O = \frac{\mathrm{d}\vec{v}^O}{\mathrm{d}t}=\vec{0}</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\vec{\alpha}=\frac{\mathrm{d}\vec{\omega}}{\mathrm{d}t}=-3\,\mathrm{sen}(t)\vec{\imath}+3\cos(t)\vec{\jmath}</math></center>
 Sustituyendo

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