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Cálculo de circulación

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)
(→Enunciado)
(→Circunferencia vertical)
Línea 76: Línea 76:
<center><math>\nabla\times\mathbf{A} = 2\mathbf{u}_{z} = 2\left(\cos\theta\mathbf{u}_{r}-\mathrm{sen}\,\theta\mathbf{u}_{\theta}\right)</math></center>
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Si no lo hubiéramos calculado previamente en cartesianas, podemos hallar el rotacional directamente en esféricas. Para ello aplicamos que el campo es igual a
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<center><math>\mathbf{A}=(x\mathbf{u}_x+y\mathbf{u}_y+z\mathbf{u}_z)+(-y\mathbf{u}_x+x\mathbf{u}_y) = r\mathbf{u}_r+r\,\mathrm{sen}(\theta)\mathbf{u}_\varphi</math></center>
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y su rotacional calculado en esféricas es
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<center><math>\nabla\times\mathbf{A}=\frac{1}{r^2\mathrm{sen}\,\theta}\left|\begin{matrix} \mathbf{u}_r & r\mathbf{u}_\theta & r\mathrm{sen}\,\theta\mathbf{u}_\varphi \\ & & \\ \displaystyle \frac{\partial\ }{\partial r} &  \displaystyle \frac{\partial\ }{\partial \theta} &  \displaystyle \frac{\partial\ }{\partial \varphi} \\ & & \\ r & 0 & r^2\mathrm{sen}^2\theta\end{matrix}\right| = \frac{1}{r^2\mathrm{sen}\,\theta}\left(2r^2\cos\theta\,\mathrm{sen}\,\theta\mathbf{u}_r-2r^2\mathrm{sen}^2\theta\mathbf{u}_\theta\right)=2\left(\cos\theta\mathbf{u}_r-\mathrm{sen}\,\theta\mathbf{u}_\theta\right)</math></center>
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Para el diferencial de superficie, si consideramos el círculo delimitado por esta circunferencia resulta la unión de dos superficies
Para el diferencial de superficie, si consideramos el círculo delimitado por esta circunferencia resulta la unión de dos superficies

Revisión de 15:43 3 nov 2010

Contenido

1 Enunciado

Para el campo vectorial

\mathbf{A} = (x-y)\mathbf{u}_{x}+(x+y)\mathbf{u}_{y}+z\mathbf{u}_{z}

calcule su circulación a lo largo de las siguientes curvas cerradas:

  1. Un cuadrado de lado 2a, con vértices \pm a\mathbf{u}_{x}\pm a\mathbf{u}_{y}, siendo +\mathbf{u}_z el vector normal al cuadrado apoyado en el polígono.
  2. Una circunferencia de radio R situada en el plano z = 0 y con centro el origen de coordenadas, siendo +\mathbf{u}_z el vector normal al círculo limitado por la circunferencia.
  3. Una circunferencia vertical, situada en el plano x = y y con centro el origen de coordenadas, siendo \mathbf{n}=\left(-\mathbf{u}_x+\mathbf{u}_y\right)/\sqrt{2} el vector normal al círculo delimitado por la curva.

En cada caso, halle la circulación por integración directa y por aplicación del teorema de Stokes.

2 Solución

2.1 Cuadrado

La circulación a lo largo del cuadrado se compone de cuatro tramos, que calculamos por separado:

2.1.1 Primer Lado

Para el lado situado en x = a, z = 0,

\mathbf{A} = (a-y)\mathbf{u}_{x}+(a+y)\mathbf{u}_{y}        \mathrm{d}{\mathbf{r}}=\mathrm{d}{y}\mathbf{u}_{y}   \Rightarrow   C_1 = \int_{-a}^a (a+y)\,\mathrm{d}{y} = 2a^2

2.1.2 Segundo lado

Para el situado en y = a, z = 0

\mathbf{A} = (x-a)\mathbf{u}_{x}+(x+a)\mathbf{u}_{y}        \mathrm{d}{\mathbf{r}}=\mathrm{d}{x}\mathbf{u}_{x}   \Rightarrow   C_2 = \int_{a}^{-a} (x-a)\,\mathrm{d}{x} = 2a^2

Nótese que no hace falta cambiar el signo a \mathrm{d}{\mathbf{r}}, ya que el sentido de recorrido lo dan los límites de integración.

2.1.3 Tercer lado

Para el lado situado en x = − a, z = 0,

\mathbf{A} = (-a-y)\mathbf{u}_{x}+(-a+y)\mathbf{u}_{y}        \mathrm{d}{\mathbf{r}}=\mathrm{d}{y}\mathbf{u}_{y}   \Rightarrow   C_3 = \int_{a}^{-a} (-a+y)\,\mathrm{d}{y} = 2a^2

2.1.4 Cuarto lado

Para el situado en y = − a, z = 0

\mathbf{A} = (x+a)\mathbf{u}_{x}+(x-a)\mathbf{u}_{y}        \mathrm{d}{\mathbf{r}}=\mathrm{d}{x}\mathbf{u}_{x}   \Rightarrow   C_4 = \int_{-a}^{a} (x+a)\,\mathrm{d}{x} = 2a^2

2.1.5 Circulación

Sumando las cuatro contribuciones

C = 2a^2+2a^2+2a^2+2a^2 = 8a^2\,

2.1.6 Aplicación del teorema de Stokes

Empleando el teorema de Stokes tenemos

\nabla\times\mathbf{A} = 2\mathbf{u}_{z}        \mathrm{d}{\mathbf{S}} = \mathrm{d}{x}\,\mathrm{d}{y}\,\mathbf{u}_{z}   \Rightarrow   C = \int_{-a}^a\int_{-a}^a 2\,\mathrm{d}{x}\,\mathrm{d}{y} = 8a^2

2.2 Circunferencia horizontal

Para el caso de la circunferencia horizontal centrada en el origen, empleamos coordenadas cilíndricas, en las cuales esta circunferencia es una línea coordenada de \varphi, con ρ = R, z = 0. De esta forma
\mathbf{A} = R\mathbf{u}_{\rho}+R\mathbf{u}_{\varphi}        \mathrm{d}\mathbf{r} = R\,\mathrm{d}\varphi\,\mathbf{u}_{\varphi}   \Rightarrow   C = \int_{-\pi}^\pi R^2\,\mathrm{d}\varphi = 2\pi R^2

Esta misma circulación, mediante el teorema de Stokes sería

C = \int_{-\pi}^\pi\int_0^R (2\mathbf{u}_{z})\cdot \left(\rho\,\mathrm{d}\rho\,\mathrm{d}\varphi\,\mathbf{u}_{z}\right) = 2\pi R^2

donde hemos tomado como superficie de integración el círculo apoyado en la circunferencia en la que queremos hallar la circulación.

2.3 Circunferencia vertical

Para la circunferencia vertical empleamos coordenadas esféricas, ya que esta circunferencia está compuesta por dos líneas coordenadas de θ por tratarse de dos meridianos unidos. Estas dos líneas son
\varphi = \frac{\pi}{4}\qquad r = R        y        \varphi = -\frac{3\pi}{4}\qquad r = R

En cada una de ellas

\mathbf{A} = R\mathbf{u}_{r}+R\,\mathrm{sen}\,\theta\,\mathbf{u}_{\varphi}        \mathrm{d}\mathbf{r} = R\,\mathrm{d}\theta\,\mathbf{u}_{\theta}

y la circulación es

C = \int_0^\pi 0\,\mathrm{d}\theta + \int_\pi^0 0\,\mathrm{d}\theta = 0

Por el teorema de Stokes, si queremos aplicar coordenadas esféricas, el rotacional vale

\nabla\times\mathbf{A} = 2\mathbf{u}_{z} = 2\left(\cos\theta\mathbf{u}_{r}-\mathrm{sen}\,\theta\mathbf{u}_{\theta}\right)

Si no lo hubiéramos calculado previamente en cartesianas, podemos hallar el rotacional directamente en esféricas. Para ello aplicamos que el campo es igual a

\mathbf{A}=(x\mathbf{u}_x+y\mathbf{u}_y+z\mathbf{u}_z)+(-y\mathbf{u}_x+x\mathbf{u}_y) = r\mathbf{u}_r+r\,\mathrm{sen}(\theta)\mathbf{u}_\varphi

y su rotacional calculado en esféricas es

\nabla\times\mathbf{A}=\frac{1}{r^2\mathrm{sen}\,\theta}\left|\begin{matrix} \mathbf{u}_r & r\mathbf{u}_\theta & r\mathrm{sen}\,\theta\mathbf{u}_\varphi \\ & & \\ \displaystyle \frac{\partial\ }{\partial r} & \displaystyle \frac{\partial\ }{\partial \theta} & \displaystyle \frac{\partial\ }{\partial \varphi} \\ & & \\ r & 0 & r^2\mathrm{sen}^2\theta\end{matrix}\right| = \frac{1}{r^2\mathrm{sen}\,\theta}\left(2r^2\cos\theta\,\mathrm{sen}\,\theta\mathbf{u}_r-2r^2\mathrm{sen}^2\theta\mathbf{u}_\theta\right)=2\left(\cos\theta\mathbf{u}_r-\mathrm{sen}\,\theta\mathbf{u}_\theta\right)


Para el diferencial de superficie, si consideramos el círculo delimitado por esta circunferencia resulta la unión de dos superficies \varphi=\mathrm{cte} (cada una un semicírculo), resulta

\mathrm{d}\mathbf{S} = r\,\mathrm{d}{r}\,\mathrm{d}{\theta}\mathbf{u}_{\varphi}

por lo que

C = \int_0^\pi \int_0^R 0\,\mathrm{d}{r}\,\mathrm{d}{\theta} + \int_0^\pi \int_0^R 0\,\mathrm{d}{r}\,\mathrm{d}{\theta} = 0

Gráficamente es evidente que la circulación se anula pues el rotacional va en la dirección del eje Z, mientras que el vector \mathrm{d}\mathbf{S} va en una dirección horizontal.

Obtenido de "http://tesla.us.es/wiki/index.php/C%C3%A1lculo_de_circulaci%C3%B3n"

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