3.6. Oscilador armónico en el plano

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)

Revisión de 22:45 18 oct 2010

Contenido

1 Enunciado
2 Momento cinético y energía
- 2.1 Momento cinético
- 2.2 Energía mecánica
3 Integrales primeras
4 Valor del momento cinético
5 Energía mecánica

1 Enunciado

Una partícula de masa $m$ se encuentra sujeta a un resorte de constante $k$ y longitud natural nula, que ejerce una fuerza

$\vec{F}=-k\vec{r}$

La posición inicial de la masa y su velocidad inicial son:

$\vec{r}_0=x_0\vec{\imath}$ $\vec{v}_0=v_0\vec{\jmath}$

Exprese el momento cinético de la partícula respecto al origen de coordenadas, $O$ , y la energía mecánica de la partícula en función de $x$ , $y$ , $z$ y sus derivadas temporales, $\dot{x}$ , $\dot{y}$ y $\dot{z}$ .
Demuestre que las dos magnitudes anteriores son integrales primeras y evalúelas en función de las condiciones iniciales.
Demuestre que el movimiento de esta partícula se restringe al plano $O X Y$ y que su velocidad areolar respecto al punto $O$ es constante.

2 Momento cinético y energía

2.1 Momento cinético

Obtenemos el momento cinético multiplicando el vector de posición por la cantidad de movimiento. Separando en coordenadas cartesianas

$\vec{L}=m\vec{r}\times\vec{v}=m\left|\begin{matrix} \vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ x & y & z \\ \dot{x} & \dot{y} & \dot{z}\end{matrix}\right| = m(y\dot{z}-z\dot{y})\vec{\imath}+m(z\dot{x}-x\dot{z})\vec{\jmath} + (x\dot{y}-y\dot{x})\vec{k}$

2.2 Energía mecánica

La energía mecánica es suma de la cinética

$K = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}m(\dot{x}^2+\dot{y}^2+\dot{z}^2)$

y la potencial

$U = \frac{1}{2}kr^2 = \frac{1}{2}k(x^2+y^2+z^2)$

Resultando la energía

$E = K + U = \frac{1}{2}m(\dot{x}^2+\dot{y}^2+\dot{z}^2) + \frac{1}{2}kr^2 = \frac{1}{2}k(x^2+y^2+z^2)$

3 Integrales primeras

La constancia del momento cinético es una consecuencia inmediata de que la fuerza producida por un oscilador armónico sea una fuerza central.

$\frac{\mathrm{d}\vec{L}_O}{\mathrm{d}t}= \vec{r}\times\vec{F}=-k\vec{r}\times\vec{r}=\vec{0}$

Al ser constante el momento cinético, la trayectoria es plana, siendo el plano de la órbita el definido por el vector de posición inicial (medido desde el centro de fuerzas) y la velocidad inicial.

En este caso tenemos que

$\vec{r}_0=x_0\vec{\imath}\qquad\qquad\vec{v}_0=v_0\vec{\jmath}$

El plano definido por estos dos vectores y el centro de fuerzas es el plano OXY, por lo que la trayectoria se limita a este plano.

4 Valor del momento cinético

Al estar limitada la trayectoria al plano OXY, el momento cinético posee solo componente en la dirección de OZ. la expresión de \vec{L} es

$\vec{L}=m\vec{r}\times\vec{v} = m\left|\begin{matrix}\vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ x & y & 0 \\ \dot{x} & \dot{y} & 0\end{matrix}\right| = m(x\dot{y}-y\dot{x})\vec{k}$

Podemos demostrar directamente la constancia de esta cantidad derivándola respecto al tiempo

$\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}\left(m(x\dot{y}-y\dot{x})\right) = m\left(\dot{x}\dot{y}+x\ddot{y}-\dot{y}\dot{x}-y\ddot{x}\right) = x(m\ddot{y})-y(m\ddot{x})$

Sustituyendo aquí la ley de Hooke

$m\ddot{x}=-kx$ $m\ddot{y}=-ky$

queda

$\frac{\mathrm{d}L_z}{\mathrm{d}t}=-kxy+kxy=0$

El valor del momento cinético lo obtenemos sustituyendo las condiciones iniciales

$m(x\dot{y}-y\dot{x})=mx_0v_0$

De la constancia del momento cinético deducimos que la partícula no puede llegar a detenerse en ningún momento (cosa que sí ocurre en el oscilador armónico en una dimensión), ya que no podemos hacer simultáneamente $\dot{x}=\dot{y}=0$ .

Por una razón análoga vemos que el oscilador no puede pasar por el origen de coordenadas, sino que habrá un valor mínimo de la distancia al origen.

5 Energía mecánica

La energía mecánica de un oscilador armónico es la suma de la cinética más la correspondiente energía potencial

$E = \frac{1}{2}mv^2+\frac{1}{2}kr^2$

que para el caso bidimensional queda

$E = \frac{m}{2}(\dot{x}^2+\dot{y}^2)+\frac{k}{2}(x^2+y^2)$

Demostramos que es una integral primera derivándola respecto al tiempo

$\frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}t}=\frac{m}{2}(2\dot{x}\ddot{x}+2\dot{y}\ddot{y})+ \frac{k}{2}(2x\dot{x}+2y\dot{y})$

Agrupando términos y aplicando de nuevo la ley de Hooke

$\frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}t}=\dot{x}(m\ddot{x}+kx) \dot{y}(m\ddot{y}+ky) = 0$

Por tanto, la energía mecánica es una constante de movimiento. Su valor lo obtenemos igualándola a su valor inicial

$E = \frac{m}{2}(\dot{x}^2+\dot{y}^2)+\frac{k}{2}(x^2+y^2) = \frac{mv_0^2}{2}+\frac{kx_0^2}{2}$

@@ Línea 12: / Línea 12: @@
 # Demuestre que el movimiento de esta partícula se restringe al plano <math>OXY</math> y que su velocidad areolar respecto al punto <math>O</math> es constante.
-==Momento cinético==
+==Momento cinético y energía==
+===Momento cinético===
+Obtenemos el momento cinético multiplicando el vector de posición por la cantidad de movimiento. Separando en coordenadas cartesianas
+<center><math>\vec{L}=m\vec{r}\times\vec{v}=m\left|\begin{matrix} \vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ x & y & z \\ \dot{x} & \dot{y} & \dot{z}\end{matrix}\right| =
+m(y\dot{z}-z\dot{y})\vec{\imath}+m(z\dot{x}-x\dot{z})\vec{\jmath} + (x\dot{y}-y\dot{x})\vec{k}</math></center>
+===Energía mecánica===
+La energía mecánica es suma de la cinética
+<center><math>K = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}m(\dot{x}^2+\dot{y}^2+\dot{z}^2)</math></center>
+y la potencial
+<center><math>U = \frac{1}{2}kr^2 = \frac{1}{2}k(x^2+y^2+z^2)</math></center>
+Resultando la energía
+<center><math>E = K + U = \frac{1}{2}m(\dot{x}^2+\dot{y}^2+\dot{z}^2) + \frac{1}{2}kr^2 = \frac{1}{2}k(x^2+y^2+z^2)</math></center>
+==Integrales primeras==
 La constancia del momento cinético es una consecuencia inmediata de que la fuerza
 producida por un oscilador armónico sea una fuerza central.

3.6. Oscilador armónico en el plano

De Laplace

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1 Enunciado

2 Momento cinético y energía

2.1 Momento cinético

2.2 Energía mecánica

3 Integrales primeras

4 Valor del momento cinético

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