Teoremas del seno y del coseno (G.I.A.)
De Laplace
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Revisión de 12:32 8 oct 2010
Contenido |
1 Enunciado
Usando el álgebra vectorial, demuestra el teorema del seno y el teorema del coseno para triángulos planos.
2 Solución
Dado el triángulo de la figura, con lados a, b y c y vértices A, B y C, el teorema del seno relaciona la longitud de los lados con los senos de los vértices opuestos:
El teorema del coseno relaciona la longitud de un lado con la longitud de los otros dos y el coseno del ángulo opuesto,
2.1 Teorema del coseno
Consideramos los vectores 
, 
y 
. Se
tiene
La longitud del lado es 
, por tanto
pues el ángulo entre y es precisamente el del
vértice A.
Rotando los lados se obtienen las otras expresiones.
2.2 Teorema del seno
Para demostrar este teorema, utilizamos el producto vectorial de por si mismo. Tenemos
Si dos vectores son iguales también lo son sus módulos. Entonces
De nuevo rotando los vectores se obtiene el cociente que falta.
Se puede llegar al mismo resultado observando que el módulo del producto vectorial de dos vectores es igual al área del triángulo. Así se llega de nuevo a
