Partícula oscilando en parábola
De Laplace
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Un punto material <math>P</math> se mueve en el plano <math>OXY</math> describiendo una trayectoria parabólica de ecuación <math>y^2 = (b^2/a) x</math>. Se sabe que la partícula se halla inicialmente en reposo en la posición <math>x=a</math>, <math>y=b</math>; y que la componente <math>y</math> de su aceleración verifica en todo instante la expresión: <math>a_y =-k^2 y</math> (con ''k'' = cte). Determine en función del tiempo la posición, velocidad y aceleración. ¿Cuál es la siguiente posición de reposo, y cuánto tiempo tarda en alcanzarla? | Un punto material <math>P</math> se mueve en el plano <math>OXY</math> describiendo una trayectoria parabólica de ecuación <math>y^2 = (b^2/a) x</math>. Se sabe que la partícula se halla inicialmente en reposo en la posición <math>x=a</math>, <math>y=b</math>; y que la componente <math>y</math> de su aceleración verifica en todo instante la expresión: <math>a_y =-k^2 y</math> (con ''k'' = cte). Determine en función del tiempo la posición, velocidad y aceleración. ¿Cuál es la siguiente posición de reposo, y cuánto tiempo tarda en alcanzarla? | ||
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| + | El movimiento de la partícula puede descomponerse en sus componentes cartesianas | ||
| + | <center><math>\vec{r}(t) = x(t)\vec{\imath}+y(t)\vec{\jmath}</math></center> | ||
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| + | siendo la aceleración | ||
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| + | <center><math>\vec{a}=\ddot{x}\vec{\imath}+\ddot{y}\vec{\jmath}</math></center> | ||
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| + | En este caso conocemos la relación entre la componente vertical de la aceleración y la coordenada correspondiente | ||
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| + | <center><math>\ddot{y}=-k^2y</math></center> | ||
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| + | que nos dice que en la coordenada <math>y</math> experimenta un movimiento armónico simple, con solución | ||
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| + | <center><math>y = A\cos(k t+\beta)</math></center> | ||
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| + | Las constantes <math>A</math> y <math>\beta</math> las obtenemos de las condiciones iniciales. Sabemos que inicialmente la partícula se encuentra en <math>y=b</math> y su velocidad inicial es nula, por lo que | ||
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| + | <center><math>b = y(0) = A\cos(\beta)\,</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>0 = \dot{y}(0) = -Ak\,\mathrm{sen}(\beta)</math></center> | ||
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| + | de donde | ||
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| + | <center><math>\beta = 0\,</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>A=b\,</math></center> | ||
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| + | y la coordenada y en cada instante es | ||
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| + | <center><math>y(t) = b\cos(k t)\,</math></center> | ||
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| + | La coordenada x la obtenemos de la ecuación de la parábola | ||
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| + | <center><math>x(t) = \frac{a}{b^2}y(t) = a\cos^2(k x)</math></center> | ||
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| + | Por tanto, el vector de posición instantánea es | ||
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| + | <center><math>\vec{r}(t) = a\cos^2(kx)\vec{\imath}+b\cos(k x)\vec{\jmath}</math></center> | ||
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| + | A partir de la posición obtenemos la velocidad | ||
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| + | <center><math>\vec{v}(t) = -2ak\cos(kx)\,\mathrm{sen}(kx)\vec{\imath]-bk\,\mathrm{sen}(kx)\vec{\jmath}</math></center> | ||
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Revisión de 17:08 5 oct 2010
1 Enunciado
Un punto material P se mueve en el plano OXY describiendo una trayectoria parabólica de ecuación y2 = (b2 / a)x. Se sabe que la partícula se halla inicialmente en reposo en la posición x = a, y = b; y que la componente y de su aceleración verifica en todo instante la expresión: ay = − k2y (con k = cte). Determine en función del tiempo la posición, velocidad y aceleración. ¿Cuál es la siguiente posición de reposo, y cuánto tiempo tarda en alcanzarla?
2 Solución
El movimiento de la partícula puede descomponerse en sus componentes cartesianas
siendo la aceleración
En este caso conocemos la relación entre la componente vertical de la aceleración y la coordenada correspondiente
que nos dice que en la coordenada y experimenta un movimiento armónico simple, con solución
Las constantes A y β las obtenemos de las condiciones iniciales. Sabemos que inicialmente la partícula se encuentra en y = b y su velocidad inicial es nula, por lo que
de donde
y la coordenada y en cada instante es
La coordenada x la obtenemos de la ecuación de la parábola
Por tanto, el vector de posición instantánea es
A partir de la posición obtenemos la velocidad
