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Partícula oscilando en parábola

De Laplace

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Un punto material <math>P</math> se mueve en el plano <math>OXY</math> describiendo una trayectoria parabólica de ecuación <math>y^2 = (b^2/a) x</math>. Se sabe que la partícula se halla inicialmente en reposo en la posición <math>x=a</math>, <math>y=b</math>; y que la componente <math>y</math> de su aceleración verifica en todo instante la expresión: <math>a_y =-k^2 y</math> (con ''k'' = cte). Determine en función del tiempo la posición, velocidad y aceleración. ¿Cuál es la siguiente posición de reposo, y cuánto tiempo tarda en alcanzarla?
Un punto material <math>P</math> se mueve en el plano <math>OXY</math> describiendo una trayectoria parabólica de ecuación <math>y^2 = (b^2/a) x</math>. Se sabe que la partícula se halla inicialmente en reposo en la posición <math>x=a</math>, <math>y=b</math>; y que la componente <math>y</math> de su aceleración verifica en todo instante la expresión: <math>a_y =-k^2 y</math> (con ''k'' = cte). Determine en función del tiempo la posición, velocidad y aceleración. ¿Cuál es la siguiente posición de reposo, y cuánto tiempo tarda en alcanzarla?
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==Solución==
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El movimiento de la partícula puede descomponerse en sus componentes cartesianas
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<center><math>\vec{r}(t) = x(t)\vec{\imath}+y(t)\vec{\jmath}</math></center>
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siendo la aceleración
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<center><math>\vec{a}=\ddot{x}\vec{\imath}+\ddot{y}\vec{\jmath}</math></center>
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En este caso conocemos la relación entre la componente vertical de la aceleración y la coordenada correspondiente
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que nos dice que en la coordenada <math>y</math> experimenta un movimiento armónico simple, con solución
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<center><math>y = A\cos(k t+\beta)</math></center>
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Las constantes <math>A</math> y <math>\beta</math> las obtenemos de las condiciones iniciales. Sabemos que inicialmente la partícula se encuentra en <math>y=b</math> y su velocidad inicial es nula, por lo que
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<center><math>b = y(0) = A\cos(\beta)\,</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>0 = \dot{y}(0) = -Ak\,\mathrm{sen}(\beta)</math></center>
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de donde
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y la coordenada y en cada instante es
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<center><math>y(t) = b\cos(k t)\,</math></center>
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La coordenada x la obtenemos de la ecuación de la parábola
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<center><math>x(t) = \frac{a}{b^2}y(t) = a\cos^2(k x)</math></center>
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Por tanto, el vector de posición instantánea es
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<center><math>\vec{r}(t) = a\cos^2(kx)\vec{\imath}+b\cos(k x)\vec{\jmath}</math></center>
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A partir de la posición obtenemos la velocidad
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<center><math>\vec{v}(t) = -2ak\cos(kx)\,\mathrm{sen}(kx)\vec{\imath]-bk\,\mathrm{sen}(kx)\vec{\jmath}</math></center>
[[Categoría:Problemas de cinemática del punto material (G.I.T.I.)]]
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Revisión de 17:08 5 oct 2010

1 Enunciado

Un punto material P se mueve en el plano OXY describiendo una trayectoria parabólica de ecuación y2 = (b2 / a)x. Se sabe que la partícula se halla inicialmente en reposo en la posición x = a, y = b; y que la componente y de su aceleración verifica en todo instante la expresión: ay = − k2y (con k = cte). Determine en función del tiempo la posición, velocidad y aceleración. ¿Cuál es la siguiente posición de reposo, y cuánto tiempo tarda en alcanzarla?

2 Solución

El movimiento de la partícula puede descomponerse en sus componentes cartesianas

\vec{r}(t) = x(t)\vec{\imath}+y(t)\vec{\jmath}

siendo la aceleración

\vec{a}=\ddot{x}\vec{\imath}+\ddot{y}\vec{\jmath}

En este caso conocemos la relación entre la componente vertical de la aceleración y la coordenada correspondiente

\ddot{y}=-k^2y

que nos dice que en la coordenada y experimenta un movimiento armónico simple, con solución

y = Acos(kt + β)

Las constantes A y β las obtenemos de las condiciones iniciales. Sabemos que inicialmente la partícula se encuentra en y = b y su velocidad inicial es nula, por lo que

b = y(0) = A\cos(\beta)\,        0 = \dot{y}(0) = -Ak\,\mathrm{sen}(\beta)

de donde

\beta = 0\,        A=b\,

y la coordenada y en cada instante es

y(t) = b\cos(k t)\,

La coordenada x la obtenemos de la ecuación de la parábola

x(t) = \frac{a}{b^2}y(t) = a\cos^2(k x)

Por tanto, el vector de posición instantánea es

\vec{r}(t) = a\cos^2(kx)\vec{\imath}+b\cos(k x)\vec{\jmath}

A partir de la posición obtenemos la velocidad

No se pudo entender (Falta el ejecutable de <strong>texvc</strong>. Por favor, lea <em>math/README</em> para configurarlo.): \vec{v}(t) = -2ak\cos(kx)\,\mathrm{sen}(kx)\vec{\imath]-bk\,\mathrm{sen}(kx)\vec{\jmath}

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