2.8. Ejemplo de movimiento helicoidal

(Diferencias entre revisiones)

Revisión de 17:01 4 oct 2010

Una partícula se mueve a lo largo de la hélice descrita por la ecuación paramétrica

$\vec{r}(\theta)=A\cos(\theta)\vec{\imath}+A\,\mathrm{sen}(\theta)\vec{\jmath}+\frac{b\theta}{2\pi}\vec{k}$

donde $A$ y $b$ son constantes conocidas. El movimiento de la partícula sigue la ley horaria

θ(t) = Ω 0 t + β t 2

donde $Ω 0$ y $β$ son constantes conocidas.

Determine el parámetro arco de la hélice descrita, como función del parámetro $θ$ y del tiempo.
Halle la rapidez del movimiento.
Calcule la componente tangencial de la aceleración de la partícula en todo instante.
Para el instante $t = 0$ calcule la velocidad y la aceleración de la partícula.
Para el mismo instante, halle los vectores del triedro de Frenet, así como el radio de curvatura de la partícula y su aceleración normal.

Podemos determinar el parámetro arco empleando la variable $θ$ según la relación

$\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}\theta}=\left|\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}\theta}\right|$

Derivando y calculando el módulo

$\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}\theta}=-A\,\mathrm{sen}(\theta)\vec{\imath}+A\cos(\theta)\vec{\jmath}+\frac{b}{2\pi}\vec{k}$

El módulo de este vector vale

$\left|\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}\theta}\right|=\sqrt{A^2+\frac{b^2}{4\pi^2}}$

Puesto que el módulo es independiente de $θ$ , su integración es inmediata

$\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}\theta}=\sqrt{A^2+\frac{b^2}{4\pi^2}}$ $\Rightarrow$ $s=\theta\sqrt{A^2+\frac{b^2}{4\pi^2}}$

@@ Línea 2: / Línea 2: @@
 Una partícula se mueve a lo largo de la hélice descrita por la ecuación paramétrica
-<center><math>\vec{r}=A\cos(\theta)\vec{\imath}+A\,\mathrm{sen}(\theta)\vec{\jmath}+\frac{b\theta}{2\pi}\vec{k}</math></center>
+<center><math>\vec{r}(\theta)=A\cos(\theta)\vec{\imath}+A\,\mathrm{sen}(\theta)\vec{\jmath}+\frac{b\theta}{2\pi}\vec{k}</math></center>
 donde <math>A</math> y <math>b</math> son constantes conocidas. El movimiento de la partícula sigue la ley horaria
-<center><math>\theta(t) = \Omega_0t+\beta t^2\,</math></center>
+<center><math>\theta(t) = \Omega_0 t + \beta t^2</math></center>
-# Determine el parámetro arco de la hélice descrita, como función del parámetro <math>\theta</math> y del tiempo
+donde <math>\Omega_0</math> y <math>\beta</math> son constantes conocidas.
+# Determine el parámetro arco de la hélice descrita, como función del parámetro <math>\theta</math> y del tiempo.
 # Halle la rapidez del movimiento.
 # Calcule la componente tangencial de la aceleración de la partícula en todo instante.
 # Para el instante <math>t=0</math> calcule la velocidad y la aceleración de la partícula.
-# Para el mismo instante, halle los vectores del triedro de Frenet, así como el radio de curvatura de la partícula.
+# Para el mismo instante, halle los vectores del triedro de Frenet, así como el radio de curvatura de la partícula y su aceleración normal.
 ==Parámetro arco==