2.8. Ejemplo de movimiento helicoidal

(Diferencias entre revisiones)

Revisión de 17:00 4 oct 2010

Una partícula se mueve a lo largo de la hélice descrita por la ecuación paramétrica

$\vec{r}=A\cos(\theta)\vec{\imath}+A\,\mathrm{sen}(\theta)\vec{\jmath}+\frac{b\theta}{2\pi}\vec{k}$

donde $A$ y $b$ son constantes conocidas. El movimiento de la partícula sigue la ley horaria

$\theta(t) = \Omega_0t+\beta t^2\,$

Determine el parámetro arco de la hélice descrita, como función del parámetro $θ$ y del tiempo
Halle la rapidez del movimiento.
Calcule la componente tangencial de la aceleración de la partícula en todo instante.
Para el instante $t = 0$ calcule la velocidad y la aceleración de la partícula.
Para el mismo instante, halle los vectores del triedro de Frenet, así como el radio de curvatura de la partícula.

Podemos determinar el parámetro arco empleando la variable $θ$ según la relación

$\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}\theta}=\left|\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}\theta}\right|$

Derivando y calculando el módulo

$\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}\theta}=-A\,\mathrm{sen}(\theta)\vec{\imath}+A\cos(\theta)\vec{\jmath}+\frac{b}{2\pi}\vec{k}$

El módulo de este vector vale

$\left|\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}\theta}\right|=\sqrt{A^2+\frac{b^2}{4\pi^2}}$

Puesto que el módulo es independiente de $θ$ , su integración es inmediata

$\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}\theta}=\sqrt{A^2+\frac{b^2}{4\pi^2}}$ $\Rightarrow$ $s=\theta\sqrt{A^2+\frac{b^2}{4\pi^2}}$

@@ Línea 36: / Línea 36: @@
 ==Velocidad y aceleración iniciales==
 ==Triedro de Frenet==
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