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2.1. Ejemplo de movimiento plano en 3D

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)
(→Parámetro arco)
(→Parámetro arco)
Línea 27: Línea 27:
La celeridad nos da la derivada del parámetro arco respecto al tiempo. Hallamos el módulo de la velocidad
La celeridad nos da la derivada del parámetro arco respecto al tiempo. Hallamos el módulo de la velocidad
-
<center><math>v = \sqrt{16A^2\omega^2\,\mathrm{sen}^2(2\omega t)+25A^2\omega^2\cos^2(\2\omega t)+9A^2\omega^2\,\mathrm{sen}^2(2\omega t)}=5A\omega</math></center>
+
<center><math>v = \sqrt{16A^2\omega^2\,\mathrm{sen}^2(2\omega t)+25A^2\omega^2\cos^2(2\omega t)+9A^2\omega^2\,\mathrm{sen}^2(2\omega t)}=5A\omega</math></center>
Resulta que el movimiento es uniforme y el parámetro natural es proporcional al tiempo
Resulta que el movimiento es uniforme y el parámetro natural es proporcional al tiempo

Revisión de 18:55 3 oct 2010

Contenido

1 Enunciado

Una partícula describe un movimiento según la ecuación horaria

\vec{r}(t) = 4A\cos^2(\omega t)\vec{\imath}+5A\cos(\omega t)\,\mathrm{sen}(\omega t)\vec{\jmath}-3A\cos^2(\omega t)\vec{k}
  1. Calcule la velocidad y la aceleración instantáneas de este movimiento.
  2. Determine el parámetro arco como función del tiempo y escriba la ecuación de la trayectoria como función del parámetro arco.
  3. Calcule el triedro de Frenet asociado a la trayectoria en cada instante, así como las componentes intrínsecas de la aceleración
  4. Halle el radio de curvatura y la posición del centro de curvatura en cada instante.

2 Velocidad y aceleración

2.1 Velocidad

Derivando una vez el vector de posición respecto al tiempo:

\vec{v}=\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t}=-8A\omega\,\mathrm{sen}(\omega t)\cos(\omega t)\vec{\imath}+5A\omega\left(\cos^2(\omega t)-\,\mathrm{sen}^2(\omega t)\right)\vec{\jmath}+6A\omega\,\mathrm{sen}(\omega t)\cos(\omega t)\vec{k}

Podemos simplificar esta expresión ayuda de las funciones trigonométricas del ángulo doble

\vec{v}=-4A\omega\,\mathrm{sen}(2\omega t)\vec{\imath}+5A\omega\cos(2\omega t)\vec{\jmath}+3A\omega\,\mathrm{sen}(2\omega t)\vec{k}

2.2 Aceleración

Derivando de nuevo obtenemos el vector aceleración:

\vec{a}=\frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t}=-8A\omega^2\cos(2\omega t)\vec{\imath}-10A\omega^2\,\mathrm{sen}(2\omega t)\vec{\jmath}+6A\omega^2\cos(2\omega t)\vec{k}

3 Parámetro arco

La celeridad nos da la derivada del parámetro arco respecto al tiempo. Hallamos el módulo de la velocidad

v = \sqrt{16A^2\omega^2\,\mathrm{sen}^2(2\omega t)+25A^2\omega^2\cos^2(2\omega t)+9A^2\omega^2\,\mathrm{sen}^2(2\omega t)}=5A\omega

Resulta que el movimiento es uniforme y el parámetro natural es proporcional al tiempo

\dot{s}=5A\omega   \Rightarrow   s = 5A\omega t\,

4 Triedro de Frenet y componentes intrínsecas

5 Radio y centro de curvatura

Obtenido de "http://tesla.us.es/wiki/index.php/2.1._Ejemplo_de_movimiento_plano_en_3D"

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