1.12. Ejemplo de construcción de una base
De Laplace
(→Enunciado) |
(→Segundo vector) |
||
Línea 44: | Línea 44: | ||
Calculamos el primer producto vectorial | Calculamos el primer producto vectorial | ||
- | <center><math>\vec{a}\times\vec{v}=\left|\begin{matrix}\vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ | + | <center><math>\vec{a}\times\vec{v}=\left|\begin{matrix}\vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ 6 & 9 & 6\\ 1 & 2 & 2\end{matrix}\right|=6\vec{\imath}-6\vec{\jmath}+3\vec{k}</math></center> |
Hallamos el segundo | Hallamos el segundo | ||
- | <center><math>\vec{a}\times\vec{v})\times \vec{v}=\left|\begin{matrix}\vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ | + | <center><math>\vec{a}\times\vec{v})\times \vec{v}=\left|\begin{matrix}\vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ 6 & -6 & 3 \\ 1 & 2 & 2 \end{matrix}\right|=-18\vec{\imath}-9\vec{\jmath}+18\vec{k}</math></center> |
Dividiendo por el módulo de \vec{v} al cuadrado y cambiando el signo obtenemos la componente normal | Dividiendo por el módulo de \vec{v} al cuadrado y cambiando el signo obtenemos la componente normal | ||
- | \vec{a}_n = | + | <center><math>\vec{a}_n = -\frac{(-18\vec{\imath}-9\vec{\jmath}+18\vec{k})}{9}=2\vec{\imath}+\vec{\jmath}-2\vec{k}</math></center> |
+ | |||
+ | Normalizando esta cantidad obtenemos el segundo vector de la base | ||
+ | |||
+ | <center><math>\vec{u}_2 = \frac{\vec{a}_n}{a_n}=\frac{2}{3}\vec{\imath}+\frac{1}{3}\vec{\jmath}-\frac{2}{3}\vec{k}</math></center> | ||
==Tercer vector== | ==Tercer vector== | ||
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Revisión de 21:56 21 jul 2010
Contenido |
1 Enunciado
Dados los vectores
Construya una base ortonormal dextrógira, tal que
- El primer vector vaya en la dirección de
- El segundo esté contenido en el plano definido por y
- El tercero sea perpendicular a los dos anteriores, y orientado según la regla de la mano derecha.
2 Primer vector
Obtenemos el primer vector normalizando el vector , esto es, hallando el unitario en su dirección y sentido, lo que se consigue dividiendo este vector por su módulo
Hallamos el módulo de
por lo que
3 Segundo vector
El segundo vector debe estar en el plano definido por y , por lo que debe ser una combinación lineal de ambos
además debe ser ortogonal a (y por tanto, a )
y debe ser unitario
El procedimiento sistemático consiste en hallar la componente de normal a y posteriormente normalizar el resultado.
La proyección normal la calculamos con ayuda del doble producto vectorial
Calculamos el primer producto vectorial
Hallamos el segundo
Dividiendo por el módulo de \vec{v} al cuadrado y cambiando el signo obtenemos la componente normal
Normalizando esta cantidad obtenemos el segundo vector de la base