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1.12. Ejemplo de construcción de una base

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)
(→Segundo vector)
(→Segundo vector)
Línea 39: Línea 39:
La proyección normal la calculamos con ayuda del [[Vectores_libres_(G.I.T.I.)#Doble_producto_vectorial|doble producto vectorial]]
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<center><math>\vec{a}_n = -\frac{(\vec{a}\times\vec{v)\times\vec{v}}{v^2}</math></center>
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<center><math>\vec{a}_n = -\frac{(\vec{a}\times\vec{v})\times\vec{v}}{v^2}</math></center>
Calculamos el primer producto vectorial
Calculamos el primer producto vectorial
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Hallamos el segundo
Hallamos el segundo
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<center><math>\vec{a}\times\vec{v})\times \vec{v}=\left|\begin{matrix}\vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ 3 & 4 & -12  \\ 12 & -16 & 29\end{matrix}\right|=-76\vec{\imath}-231\vec{\jmath}-96\vec{k}</math></center>
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==Tercer vector==
==Tercer vector==
[[Categoría:Problemas de vectores libres (G.I.T.I.)]]
[[Categoría:Problemas de vectores libres (G.I.T.I.)]]

Revisión de 16:58 21 jul 2010

Contenido

1 Enunciado

Dados los vectores

\vec{v}=3\vec{\imath}+4\vec{\jmath}-12\vec{k}        \vec{a}=12\vec{\imath}-16\vec{\jmath}+29\vec{k}

Construya una base ortonormal dextrógira, tal que

  • El primer vector vaya en la dirección de \vec{v}
  • El segundo esté contenido en el plano definido por \vec{v} y \vec{a}
  • El tercero sea perpendicular a los dos anteriores, y orientado según la regla de la mano derecha.

2 Primer vector

Obtenemos el primer vector normalizando el vector \vec{v}, esto es, hallando el unitario en su dirección y sentido, lo que se consigue dividiendo este vector por su módulo

\vec{u}_1=\frac{\vec{v}}{v}

Hallamos el módulo de \vec{v}

v = \sqrt{\vec{v}\cdot\vec{v}}=\sqrt{3^2+4^2+12^2}=13

por lo que

\vec{u}_1 = \frac{3}{13}\vec{\imath}+\frac{4}{13}\vec{\jmath}-\frac{12}{13}\vec{k}

3 Segundo vector

El segundo vector debe estar en el plano definido por \vec{v} y \vec{a}, por lo que debe ser una combinación lineal de ambos

\vec{u}_2 = \lambda\vec{v}+\mu\vec{a}

además debe ser ortogonal a \vec{u}_1 (y por tanto, a \vec{v})

\vec{u}_2\cdot\vec{u}_1 = 0 = \vec{u}_2\cdot\vec{v}

y debe ser unitario

\vec{u}_2\cdot\vec{u}_2=1

El procedimiento sistemático consiste en hallar la componente de \vec{a} normal a \vec{v} y posteriormente normalizar el resultado.

La proyección normal la calculamos con ayuda del doble producto vectorial

\vec{a}_n = -\frac{(\vec{a}\times\vec{v})\times\vec{v}}{v^2}

Calculamos el primer producto vectorial

\vec{a}\times\vec{v}=\left|\begin{matrix}\vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ 12 & -16 & 29\\ 3 & 4 & -12\end{matrix}\right|=76\vec{\imath}+231\vec{\jmath}+96\vec{k}

Hallamos el segundo

\vec{a}\times\vec{v})\times \vec{v}=\left|\begin{matrix}\vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ 56 & 231 & 96 \\ 3 & 4 & -12 \end{matrix}\right|=-76\vec{\imath}-231\vec{\jmath}-96\vec{k}

4 Tercer vector

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