Inducción mutua de dos solenoides cilíndricos
De Laplace
(Nueva página: ==Enunciado== rightDos solenoides cilíndricos muy largos se disponen concntricamente. Dichos solenoides poseen la misma longitud <math>h\,</math> y número d...) |
(→Matriz de inducciones mutuas) |
||
| Línea 9: | Línea 9: | ||
==Solución== | ==Solución== | ||
===Matriz de inducciones mutuas=== | ===Matriz de inducciones mutuas=== | ||
| - | + | Existen tres métodos a la hora de calcular los coeficientes de inducción mutua y autoinducción. Uno es el cálculo directo a partir de la fórmula de Neumann, que no consideraremos por ser extremadamente complicado. El segundo es partir del flujo inducido en cada solenoide por los campos magnéticos propios o ajenos. El tercero es a partir de la expresión de la energía magnética. | |
| + | |||
| + | Comenzaremos por este último, que es el más sencillo, y luego repetiremos el problema a partir de los flujos. | ||
| + | |||
====Cálculo a partir de la energía==== | ====Cálculo a partir de la energía==== | ||
| + | |||
| + | Es conocido que un solenoide muy largo de longitud <math>h</math>, radio <math>R</math>, con <math>N</math> espiras por las cuales circula una corriente <math>I</math> produce un campo magnético | ||
| + | |||
| + | * Si <math>\rho < R</math> | ||
| + | |||
| + | <center><math>\mathbf{B} = \frac{\mu_0 NI}{h} \mathbf{u}_{z}</math></center> | ||
| + | |||
| + | * Si <math>\rho > R</math> | ||
| + | |||
| + | <center><math>\mathbf{B} = \mathbf{0}</math></center> | ||
| + | |||
| + | En nuestro caso disponemos de dos solenoides, cada uno de los cuales crea su propio campo magnético. Por simple aplicación del principio de superposición resulta | ||
| + | |||
| + | * Si <math>\rho < a</math> | ||
| + | |||
| + | <center><math>\mathbf{B} = \left(\frac{\mu_0 N_1I_1}{h} +\frac{\mu_0 N_2I_2}{h}\right)\mathbf{u}_{z}</math></center> | ||
| + | |||
| + | * Si <math>a < \rho < R</math> | ||
| + | |||
| + | <center><math>\mathbf{B} = \frac{\mu_0 N_2I_2}{h}\mathbf{u}_{z}</math></center> | ||
| + | |||
| + | * Si <math>b < \rho</math> | ||
| + | |||
| + | <center><math>\mathbf{B} = \mathbf{0}</math></center> | ||
| + | |||
| + | donde <math>I_1</math>, e <math>I_2</math> son las corrientes que circulan por los solenoides de radios <math>a</math> y <math>b</math>, respectivamente. Aquí hemos hecho uso de que todas las bobinas poseen la misma longitud y el mismo sentido de giro (lo que hace que todos los campos tengan el mismo sentido). | ||
| + | |||
| + | Una vez conocido el campo podemos obtener la energía magnética almacenada a partir de la expresión | ||
| + | |||
| + | <center><math>U_m=\int \frac{B^2}{2\mu_0}\,\mathrm{d}\tau</math></center> | ||
| + | |||
| + | Conocido que el campo es uniforme por regiones podemos escribir esta integral como | ||
| + | |||
| + | <center><math>U_m = \frac{B(\rho<a)^2}{2\mu_0}\pi a^2h + \frac{B(a<\rho<b)^2}{2\mu_0}\pi\left(b^2-a^2)h = </math></center> | ||
| + | |||
| + | <center><math>= \frac{\mu_0\pi}{2h}\left((N_1I_1+N_2I_2)a^2+(N_2I_2)^2(b^2-a^2)\right)</math></center> | ||
| + | |||
| + | Desarrollando esta expresión resulta | ||
| + | |||
| + | <center><math>U_m=\frac{\mu_0\pi}{2h}\left(N_1^2I_1^2a^2+2N_1N_2I_1I_2a^2+ N_2^2I_2^2b^2\right)</math></center> | ||
| + | |||
| + | Comparando este resultado con | ||
| + | |||
| + | <math>U_m=\frac{1}{2}\pmatrix{I_1}</math> | ||
| + | \frac{1}{2}\sum_{i,j}L_{ij}I_iI_j= | ||
| + | \frac{1}{2}\left(L_{11}I_1^2+2L_{12}I_1I_2+\cdots+L_{33}I_3^2\right) | ||
| + | \] | ||
| + | resulta la matriz de inducciones mutuas | ||
| + | \[ | ||
| + | (L_{ij})=\frac{\mu_0\pi N^2}{h}\pmatrix{ a^2 & a^2 & a^2 | ||
| + | \cr a^2 & b^2 & b^2 \cr a^2 & b^2 & c^2} | ||
| + | \] | ||
| + | Esta matriz es simétrica, como era de esperar. | ||
| + | |||
| + | |||
| + | |||
| + | ====Cálculo a partir de los flujos==== | ||
| + | |||
===Constante de acoplamiento=== | ===Constante de acoplamiento=== | ||
===Asociación en serie=== | ===Asociación en serie=== | ||
Revisión de 16:11 25 may 2008
Contenido |
1 Enunciado
y número de espiras N1 y N2, respectivamente, las cuales están arrolladas en el mismo sentido. Los radios de las bobinas son, respectivamente, a y b (a < b).
- Determine la matriz de inducciones mutuas del sistema.
- Calcule la constante de acoplamiento entre las bobinas.
- Suponga que se conectan el extremo superior de la bobina interior con el extremo superior de la exterior. ¿Cuál es la autoinducción equivalente de la asociación?
- Suponga que se conectan en paralelo, ¿cuál es la autoinducción equivalente de la asociación?
2 Solución
2.1 Matriz de inducciones mutuas
Existen tres métodos a la hora de calcular los coeficientes de inducción mutua y autoinducción. Uno es el cálculo directo a partir de la fórmula de Neumann, que no consideraremos por ser extremadamente complicado. El segundo es partir del flujo inducido en cada solenoide por los campos magnéticos propios o ajenos. El tercero es a partir de la expresión de la energía magnética.
Comenzaremos por este último, que es el más sencillo, y luego repetiremos el problema a partir de los flujos.
2.1.1 Cálculo a partir de la energía
Es conocido que un solenoide muy largo de longitud h, radio R, con N espiras por las cuales circula una corriente I produce un campo magnético
- Si ρ < R
- Si ρ > R
En nuestro caso disponemos de dos solenoides, cada uno de los cuales crea su propio campo magnético. Por simple aplicación del principio de superposición resulta
- Si ρ < a
- Si a < ρ < R
- Si b < ρ
donde I1, e I2 son las corrientes que circulan por los solenoides de radios a y b, respectivamente. Aquí hemos hecho uso de que todas las bobinas poseen la misma longitud y el mismo sentido de giro (lo que hace que todos los campos tengan el mismo sentido).
Una vez conocido el campo podemos obtener la energía magnética almacenada a partir de la expresión
Conocido que el campo es uniforme por regiones podemos escribir esta integral como
Desarrollando esta expresión resulta
Comparando este resultado con
No se pudo entender (Falta el ejecutable de <strong>texvc</strong>. Por favor, lea <em>math/README</em> para configurarlo.): U_m=\frac{1}{2}\pmatrix{I_1}
\frac{1}{2}\sum_{i,j}L_{ij}I_iI_j=
\frac{1}{2}\left(L_{11}I_1^2+2L_{12}I_1I_2+\cdots+L_{33}I_3^2\right) \] resulta la matriz de inducciones mutuas \[ (L_{ij})=\frac{\mu_0\pi N^2}{h}\pmatrix{ a^2 & a^2 & a^2 \cr a^2 & b^2 & b^2 \cr a^2 & b^2 & c^2} \] Esta matriz es simétrica, como era de esperar.
