Integrales de camino. Ejemplos

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)

última version al 18:13 13 abr 2010

Contenido

1 Un ejemplo sencillo
2 Un ejemplo más complicado
3 Enlaces

1 Un ejemplo sencillo

1.1 Enunciado

Por poner un ejemplo de integral de camino, supongamos que nos piden, dado el campo

$\mathbf{A} = (x-y)\mathbf{u}_x+(x+y)\mathbf{u}_y + z\mathbf{z}$

hallar la integral

$C = \oint \mathbf{A}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}$

sobre una circunferencia de radio $R\,$ situada en el plano $XY\,$ y con centro el origen de coordenadas (el circulito de la integral significa que la integral se hace sobre una curva cerrada).

1.2 Elección del sistema de coordenadas

El camino de integración es una circunferencia horizontal, lo que corresponde a una línea coordenada de la coordenada $\varphi$ .

Por ello, parece conveniente elegir o bien coordenadas cilíndricas o bien coordenadas esféricas (ya que ambos sistemas comparten la coordenada $\varphi$ ). Como el sistema cilíndrico parece más sencillo que el esférico, nos quedaremos con él. En este sistema, la circunferencia se escribe

$\rho=R\qquad z=0\qquad\varphi\in[0,2\pi)$

El problema es que el vector que hay que integrar viene expresado en cartesianas, así que hay que pasarlo a cilíndricas. Si sustituimos las expresiones de las coordenadas

$\mathbf{A} = \rho(\cos\varphi-\mathrm{sen}\,\varphi)\mathbf{u}_{x}+\rho(\cos\varphi+\mathrm{sen}\,\varphi)\mathbf{u}_y+z\mathbf{u}_{z} =$

$= \rho(\cos\varphi\mathbf{u}_{x}+\mathrm{sen}\,\varphi\mathbf{u}_y)+\rho(-\mathrm{sen}\,\varphi\mathbf{u}_x+\cos\varphi\mathbf{u}_y)+z\mathbf{u}_{z} =$

$=\rho\mathbf{u}_\rho +\rho\mathbf{u}_\varphi + z\mathbf{u}_{z}$

donde hemos usado igualmente las relaciones entre las bases vectoriales.

1.3 Sustitución de los distintos términos

Ya tenemos definido el contorno de integración y el integrando en cilíndricas. Ahora se trata de sustituir cada término en la integral, particularizando para la curva en concreto sobre la que se calcula la integral.

Esta curva se caracteriza por

$\rho=R\qquad z=0\qquad\varphi\in[0,2\pi)$

de forma que en ella

$\mathbf{A}=R(\mathbf{u}_\rho + \mathbf{u}_\varphi)$

y el diferencial de camino es el correspondiente a una línea coordenada $\varphi$

$\mathrm{d}\mathbf{r} = R\,\mathrm{d}\varphi\,\mathbf{u}_\varphi$

(ponemos $R$ y no $ρ$ en el diferencial porque hay que particularizar para la curva concreta).

El producto escalar vale, por tratarse de una base ortonormal

$\mathbf{A}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r} = R^2\,\mathrm{d}\varphi$

con lo que la integral se reduce a

$C = \int_0^{2\pi}\!R^2\mathrm{d}\varphi$

1.4 Cálculo de la integral

El último paso es inmediato, ya que el integrando no depende de $\varphi$

$C = \int_0^{2\pi}\!R^2\,\mathrm{d}\varphi = 2\pi R^2$

Nótese que el resultado es un escalar, como corresponde a una suma de productos escalares.

2 Un ejemplo más complicado

2.1 Enunciado

Supongamos ahora que nos piden hallar la integral

$\mathbf{I} = \int \left(\mathbf{r}\cdot\mathbf{r'}\right)\mathrm{d}\mathbf{r'}$

a lo largo del segmento rectilíneo que va de $h\mathbf{u}_z$ a $L\mathbf{u}_x+L\mathbf{u}_y+h\mathbf{u}_z$ .

Lo primero, antes de hacer ningún cálculo es entender la expresión. ¿Se trata de un escalar o de un vector?

Es un vector, pues tenemos el producto escalar de $\mathbf{r}$ y $\mathbf{r}'$ , que resulta en un escalar, y este número se multiplica por $\mathrm{d}\mathbf{r}'$ , que es un vector, resultando un vector. La suma de vectores es un vector, por tanto el resultado final es un vector.

¿Podemos sacar factor común? Esto es, ¿es esta integral equivalente a

$\mathbf{I}\ \stackrel{?}{=}\ \mathbf{r}\int \mathbf{r'}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r'}$

que también es un vector? Y la respuesta es no, ya que

$\left(\mathbf{A}\cdot\mathbf{B}\right)\mathbf{C}\neq \mathbf{A}\left(\mathbf{B}\cdot\mathbf{C}\right)$

Por tanto debemos calcular la integral tal como está escrita originalmente.

2.2 Elección del sistema de coordenadas

El camino de integración es uno rectilíneo que va de un punto $\mathbf{r}_1$ a uno $\mathbf{r}_2$ . Por su caracter rectilíneo, las coordenadas cartesianas parecen una buena opción.

Los puntos de este segmento se pueden parametrizar como

$\mathbf{r}' = \mathbf{r}_1 + t\left(\mathbf{r}_2 - \mathbf{r}_1\right)\qquad t\in [0,1]$

de forma que para $t = 0$ salimos de $\mathbf{r}_1$ y para $t = 1$ acabamos en $\mathbf{r}_2$ . Sustituyendo los extremos de nuestro ejemplo concreto

$\mathbf{r}' = tL\left(\mathbf{u}_x+\mathbf{u}_y\right)+h\mathbf{z}$

o, separando componente a componente

$x' = Lt\qquad y' = Lt\qquad z'=h$

El integrando, por su parte vale

$\mathbf{r}\cdot\mathbf{r'} = xx' + yy' + zz' = xLt + yLt + zh$

y el diferencial

$\mathrm{d}\mathbf{r}' = \mathrm{d}x'\mathbf{u}_x + \mathrm{d}y'\mathbf{u}_y+\mathrm{d}z'\mathbf{u}_z = L\left(\mathbf{u}_x+\mathbf{u}_y\right)\mathrm{d}t$

2.3 Sustitución en la integral

Sustituyendo todo lo anterior queda

$\mathbf{I} = \int_0^1 (xLt + yLt + zh)L(\mathbf{u}_x + \mathbf{u}_y)\mathrm{d}t$

2.4 Cálculo de la integral

Ya hemos reducido al problema a una integral elemental en $t$ . Es elemental porque aunque en ella aparezcan $x$ , $y$ , $z$ o $L$ , la única variable es $t$ .

Sacando factores comunes y efectuando la integración

$\mathbf{I} = L(\mathbf{u}_x + \mathbf{u}_y)\int_0^1 (xLt + yLt + zh)\mathrm{d}t = L(\mathbf{u}_x + \mathbf{u}_y)\left(\frac{xL}{2} + \frac{yL}{2}+ zh\right)$

El resultado es una función de las componentes de $\mathbf{r}$ , pero no de las de $\mathbf{r}'$ , que desaparecen en el proceso de integración. $\mathbf{r}'$ es lo que se denomina una variable muda.

3 Enlaces

@@ Línea 93: / Línea 93: @@
 <center><math>\mathbf{r}' = \mathbf{r}_1 + t\left(\mathbf{r}_2 - \mathbf{r}_1\right)\qquad t\in [0,1]</math></center>
-de forma que para <math>t=0</math> salimos de <math>\mathbf{r}_1</math></math> y para <math>t = 1</math> acabamos en <math>\mathbf{r}_2</math>. Sustituyendo los extremos de nuestro ejemplo concreto
+de forma que para <math>t=0</math> salimos de <math>\mathbf{r}_1</math> y para <math>t = 1</math> acabamos en <math>\mathbf{r}_2</math>. Sustituyendo los extremos de nuestro ejemplo concreto
 <center><math>\mathbf{r}' = tL\left(\mathbf{u}_x+\mathbf{u}_y\right)+h\mathbf{z}</math></center>

Integrales de camino. Ejemplos

De Laplace

última version al 18:13 13 abr 2010

Contenido

1 Un ejemplo sencillo

1.1 Enunciado

1.2 Elección del sistema de coordenadas

1.3 Sustitución de los distintos términos

1.4 Cálculo de la integral

2 Un ejemplo más complicado

2.1 Enunciado

2.2 Elección del sistema de coordenadas

2.3 Sustitución en la integral

2.4 Cálculo de la integral

3 Enlaces

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