Momento cinético de una barra
De Laplace
(→Rotación en torno al centro) |
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| Línea 43: | Línea 43: | ||
==Rotación en torno a un extremo== | ==Rotación en torno a un extremo== | ||
| + | Si la barra gira en torno a uno de sus extremos, el cálculo es idéntico, salvo que ahora el origen de coordenadas es este extremo y | ||
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| + | <center><math>x\in\left(0,h\right)</math></center> | ||
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| + | El momento cinético será ahora | ||
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| + | <center><math>\mathbf{L}_O=\int \mathrm{d}m\,\mathbf{r}\times\mathbf{v}=\int_{0}^{h}(x\mathbf{i})\times(\omega x\mathbf{j})\frac{M}{h}\mathrm{d}x=\frac{M\omega\mathbf{k}}{h}\int_{0}^{h}x^2\,\mathrm{d}x=\frac{Mh^2\omega}{3}\mathbf{k}</math></center> | ||
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| + | que se puede escribir también en la forma | ||
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| + | <center><math>\mathbf{L}_O=\frac{Mh^2}{3}\omega \mathbf{k}=I_O\vec{\omega}</math></center> | ||
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| + | siendo | ||
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| + | <center><math>I_O=\frac{Mh^2}{3}</math></center> | ||
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| + | el ''momento de inercia'' respecto a un eje perpendicular a la barra y que pasa por un extremo. | ||
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| + | Este momento cinético verifica la superposición | ||
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| + | <center><math>\mathbf{L}_O = M\\mathbf{r}_C\times\mathbf{v}_C+\mathbf{L}_C\,</math></center> | ||
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| + | siendo el primer término el momento cinético que tendría una masa puntual que se moviera como el centro de masas | ||
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| + | <center><math>M\mathbf{r}_C\times\mathbf{v}_C = M\left(\frac{h}{2}\mathbf{i}\right)\times\left(\omega\frac{h}{2}\mathbf{j}\right)=\frac{Mh^2}{4}\omega\mathbf{k}</math></center> | ||
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| + | cumpliéndose | ||
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| + | <center><math>\mathbf{L}_O=\frac{Mh^2}{3}\vec{\omega}=\frac{Mh^2}{4}\vec{\omega}+\frac{Mh^2}{12}\vec{\omega}=M\\mathbf{r}_C\times\mathbf{v}_C+\mathbf{L}_C</math></center> | ||
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==Variación de la longitud== | ==Variación de la longitud== | ||
[[Categoría:Problemas de dinámica de un sistema de partículas]] | [[Categoría:Problemas de dinámica de un sistema de partículas]] | ||
Revisión de 21:35 1 mar 2010
Contenido |
1 Enunciado
Una barra homogénea de masa m y longitud h gira en torno a un eje perpendicular a ella y que pasa
por su centro, con velocidad angular uniforme 
.
- Calcula el momento angular de la barra respecto a su punto central.
- Ahora el eje de giro pasa por uno de sus extremos. Calcula el momento angular de la barra en este caso, respecto a un punto del eje de giro.
- En la situación anterior, la longitud de la barra se multiplica por dos, mientras que su masa permanece constante. ¿Cómo cambia la velocidad angular? ¿Y si se divide por dos?
2 Rotación en torno al centro
Tomamos un sistema de ejes fijos en el cual el origen de coordenadas es el centro de la barra, el eje Z es el eje instantáneo de rotación (por lo que 
) y X es el eje a lo largo de la barra.
El momento cinético respecto al centro de la barra (que es también su centro de masas) será, para una distribución continua
Para calcular esta integral identificamos los puntos de la barra por su coordenada x definida en el intervalo
Dividimos entonces la barra en porciones de longitud diferencial dx siendo la masa, y posición de cada elemento
siendo μ = M / h la densidad lineal de masa de la barra.
La velocidad de cada elemento la da el que la barra está sometida a una rotación pura
Sustituyendo en la integral
Este resultado lo podemos escribir en la forma
siendo
el momento de inercia respecto a un eje perpendicular a la barra y que pasa por su centro.
3 Rotación en torno a un extremo
Si la barra gira en torno a uno de sus extremos, el cálculo es idéntico, salvo que ahora el origen de coordenadas es este extremo y
El momento cinético será ahora
que se puede escribir también en la forma
siendo
el momento de inercia respecto a un eje perpendicular a la barra y que pasa por un extremo.
Este momento cinético verifica la superposición
siendo el primer término el momento cinético que tendría una masa puntual que se moviera como el centro de masas
cumpliéndose
