Circuito en torno a un solenoide
De Laplace
(→Corriente que fluye por el circuito) |
(→Lectura del voltímetro <math>V_1</math>) |
||
| Línea 39: | Línea 39: | ||
magnético entre ambos caminos. | magnético entre ambos caminos. | ||
| - | 0=-\frac{\mathrm{d}\Phi_m}{\mathrm{d}t}=\oint\mathbf{E}{\cdot}\mathrm{d}\mathbf{r}=\ | + | <center><math>0=-\frac{\mathrm{d}\Phi_m}{\mathrm{d}t}=\oint\mathbf{E}{\cdot}\mathrm{d}\mathbf{r}=\Big._{V_1}\int_{A}^B\mathbf{E}{\cdot}\mathrm{d}\mathbf{r}+\Big._{R_1}\int_{B}^A\mathbf{E}{\cdot}\mathrm{d}\mathbf{r}=\Delta V_1-IR_1 |
| - | A}^B\mathbf{E}{\cdot}\mathrm{d}\mathbf{r}+\ | + | </math></center> |
Resulta entonces | Resulta entonces | ||
| - | V_1=IR_1=-\frac{R_1}{R_1+R_2}\mu_0S\ | + | <center><math>\Delta V_1=IR_1=-\frac{R_1}{R_1+R_2}\mu_0S\frac{\mathrm{d}K_0}{\mathrm{d}t}</math></center> |
===Lectura del voltímetro <math>V_2</math>=== | ===Lectura del voltímetro <math>V_2</math>=== | ||
Revisión de 17:44 22 may 2008
Contenido |
1 Enunciado
, por el cual circula una corriente variable en el tiempo K0(t). Dos voltímetros miden el voltaje entre dos puntos 
y 
, diametralmente opuestos, de un circuito formado por dos resistencias 
y 
, tal como se ve en la figura. Halle las lecturas de los voltímetros. ¿Coincidirán éstas? ¿Por qué?
2 Solución
2.1 Corriente que fluye por el circuito
Este problema es una aplicación inmediata de la ley de Faraday, si bien su apariencia es un tanto engañosa. Tenemos un circuito formado por dos resistencias y, aparentemente, sin generador. Éste es el solenoide central, en cuyo interior hay un campo magnético variable. El flujo de este campo a través de una superficie limitada por el circuito no es nulo, aunque no haya campo magnético en ningún punto del circuito.
Tenemos que
La fuerza electromotriz, al estar el circuito en reposo, coincide con la circulación del campo eléctrico
Vemos que el campo eléctrico, en este caso, no es irrotacional. Esta integral se puede descomponer en dos tramos, uno por cada resistencia, en cada uno de los cuales, el campo eléctrico es proporcional a la densidad de corriente.
Por su parte, el flujo magnético es
ya que, en el interior de un solenoide largo y con el sentido de la corriente indicado en la figura, 
. Obsérvese que la sección es la del solenoide, no la de una superficie apoyada en la espira formada por las dos resistencias, ya que el campo es no nulo sólo dentro del solenoide.
Según esto
Ésta es la corriente que circula por el circuito.
2.2 Lectura del voltímetro V1
La tensión que mide el voltímetro V1 coincide con la caída de tensión en la resistencia R1, pero no con la que hay en la resistencia R2. La razón es que un voltímetro determina la integral del campo eléctrico a través de un camino que pasa por su interior. Para que este coincida con la integral a través de una resistencia debe ocurrir, de nuevo según la ley de Faraday, que no haya variación de flujo magnético entre ambos caminos.
Resulta entonces
2.3 Lectura del voltímetro V2
la resistencia $2$ (teniendo en cuenta el sentido de la corriente)
V_2=\frac{R_2}{R_1+R_2}\mu_0S\dtot{K_0}{t}
Éste es un ejemplo de cómo el potencial eléctrico no está definido, en general, cuando hay campos variables en el tiempo.
Si hubiéramos prescindido del circuito y nos hubiéramos quedado sólo con los dos voltímetros, no hubiésemos podido conocer, en principio, la lectura de cada uno (ya que ello exigiría saber la resistencia interna de cada voltímetro o la distribución del campo eléctrico), pero seguiría cumpliéndose que
V_1-V_2=\oint \mathbf{E}{\cdot}\mathrm{d}\mathbf{r}=-\mu_0S\dtot{K_0}{t}
Incluso si hubiéramos eliminado de uno de los dos voltímetros y cortocircuitado los terminales del voltímetro restante (lo que es muy fácil de realizar experimentalmente, usando un solenoide toroidal), seguiríamos obteniendo un voltaje, dado por la expresión anterior.
