Coeficientes de capacidad

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)

Revisión de 19:11 17 ene 2010

Contenido

1 Problema del potencial
2 Solución del problema del potencial
3 Cargas en los conductores
4 Coeficientes de capacidad e inducción
5 Casos particulares
- 5.1 Un solo conductor
  - 5.1.1 El ejemplo de la esfera conductora
- 5.2 Dos conductores
  - 5.2.1 Dos esferas concéntricas
6 Apantallamiento

1 Problema del potencial

Artículo completo: Problema del potencial

Cuando se tiene un sistema de conductores $S k$ a diferentes potenciales $V k$ , y quiere determinarse la distribución de potencial eléctrico y de campo eléctrico entre ellos, debe resolverse el problema del potencial:

$\nabla^2\phi = 0$

con las condiciones de contorno

$\phi = V_k\quad (\mathbf{r}\in S_k)$ $\phi\to 0\quad (r\to\infty)$

Suponemos que la única carga se encuentra sobre los conductores, y no en el espacio entre ellos; por ello, la ecuación diferencial es la de Laplace y no la de Poisson. La condición de contorno en el infinito puede ser sustituida por una en una superficie exterior que rodee al sistema (porque tengamos, por ejemplo, un sistema de conductores dentro de una jaula de Faraday).

La solución de este problema permite hallar el campo eléctrico entre los conductores, la carga en cada conductor, y la energía almacenada, entre otras cantidades. Aunque puede demostrarse que existe solución y es única, ello no quiere decir que sea sencilla de calcular. En muy pocos casos existe solución analítica y a menudo es preciso recurrir a una solución numérica.

2 Solución del problema del potencial

El problema del potencial tiene una complicación adicional aparte de su complejidad matemática: depende de los potenciales de todos los conductores. Esto quiere decir que si se modifica el potencial de uno solo de ellos, aunque el resto permanezca a la misma tensión que estaba, ya la solución completa es distinta, y todos los valores previos de campos, cargas o energía, se ven modificados.

Interesa entonces saber si existe un principio de superposición que permita separar el efecto de un conductor del del resto.

Quede claro que la solución del problema completo no es la suma de las soluciones que habría si estuviera cada conductor y no estuviera el resto. La presencia de nuevos conductores en un sistema, perturba a los ya existentes, redistribuyendo sus cargas, de forma que el campo que produce cada uno ya no es el mismo que producían antes de esta introducción.

No obstante lo anterior, sí podemos escribir la solución del problema del potencial (en ausencia de carga de volumen) como una combinación lineal de soluciones

$\phi = \sum_{k=1}^N V_k\phi_k$

donde los $V k$ son las tensiones de los diferentes conductores y las $\phi_k\,$ son funciones base definidas por el problema del potencial

$\nabla^2\phi_k = 0$ $\phi=\begin{cases}1 & \mathbf{r}\in S_k\\ 0 & \mathbf{r}\in S_j,\ j\neq k \\ 0 & r\to\infty\end{cases}$

Expresado en palabras, la función $\phi_k\,$ representa el potencial que habría si el conductor $k$ estuviera a potencial unidad y el resto de los conductores estuviera a tierra (pero presentes).

Puede demostrarse que esta expresión es solución sustituyendo en el problema del potencial original y aplicando el teorema de unicidad.

La ventaja que trae el expresar la solución como una combinación lineal de funciones base es que estas funciones base son independientes de los potenciales concretos a los que se encuentran los diferentes conductores. Solo dependen de la geometría del sistema. Por ello, si se modifica la tensión de uno solo de los conductores, no es preciso recalcular la solución completa; basta con modificar el coeficiente correspondiente en la combinación lineal.

3 Cargas en los conductores

A menudo, lo que interesa no es determinar la distribución de potencial en todo el espacio, sino simplemente las cargas en los diferentes conductores. Esto se suele hacer hacer en el proceso de conversión de un sistema complejo en una caja negra, en la cual se da una serie de datos (los potenciales) y se obtienen los resultados (las cargas) sin necesidad de conocer el funcionamiento interno.

La carga en cada conductor puede hallarse mediante la ley de Gauss

$Q_i = \varepsilon_0\oint_{S_i} \mathbf{E}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}_i$

siendo $S i$ una superficie cerrada que envuelve al conductor $i$ . Aplicando ahora la combinación lineal de funciones base, queda, para el campo eléctrico

$\mathbf{E}=-\nabla\phi =-\sum_{k=1}^N V_k\nabla\phi_k=\sum_{k=1}^NV_k\mathbf{E}_k$

y para la carga en el conductor $i$

$Q_i = \oint_{S_i}\varepsilon_0\left(\sum_{k=1}^NV_k\mathbf{E}_k\right)\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}_i = \sum_{k=1}^N V_k\left(\oint_{S_i}\varepsilon_0\mathbf{E}_k\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}_i\right)$

o, de forma más concisa

$Q_i = \sum_{k=1}^N C_{ik}V_k\,$

donde

$C_{ik}=\oint_{S_i}\varepsilon_0\mathbf{E}_k\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}_i\qquad\qquad\mathbf{E}_k=-\nabla\phi_k$

son los llamados coeficientes de capacidad e inducción, que describiremos más en detalle más adelante.

Esta relación nos dice que las cargas en los conductores se pueden expresar como una combinación lineal de las diferentes tensiones. La relación se puede expresar en forma matricial

$\mathbf{Q}=\mathsf{C}\cdot\mathbf{V}\,$

donde $\mathbf{Q}$ y $\mathbf{V}$ son vectores columna de $N$ elementos, con las cargas y tensiones respectivamente y $\mathsf{C}$ es una matriz $N\times N$ formada por los coeficientes de capacidad e inducción.

$\begin{pmatrix} {{Q_1}} \\ {{Q_2}} \\ \vdots \\ {{Q_N}} \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {{C_{11}}} & {{C_{12}}} & \cdots & {{C_{1N}}} \\ {{C_{21}}} & {{C_{22}}} & \cdots & {{C_{2N}}} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ {{C_{N1}}} & {{C_{2N}}} & \cdots & {{C_{NN}}} \\ \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} {{V_1}} \\ {{V_2}} \\ \vdots \\ {{V_N}} \\ \end{pmatrix}$

Como en el caso de la solución del problema del potencial completo, la modificación de uno de los potenciales no afecta a la matriz de coeficientes de capacidad e inducción. Sí cambia, en egeneral, el valor de todas las cargas, de acuerdo con la relación anterior.

4 Coeficientes de capacidad e inducción

4.1 Definición e interpretación

Los coeficientes de capacidad e inducción se definen con la fórmula general

$C_{ik}=\oint_{S_i}\varepsilon_0\mathbf{E}_k\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}_i\qquad\qquad\mathbf{E}_k=-\nabla\phi_k$

donde se distinguen:

Coeficientes de capacidad: cuando $i = k$ , esto es, los elementos de la diagonal principal de la matriz $\mathsf{C}$ .
Coeficientes de inducción: cuando $i\neq k$ , es decir, los elementos sobre y bajo la diagonal principal de $\mathsf{C}$ .

En términos físicos:

el coeficiente de capacidad $C i i$ es la carga por unidad de potencial que aparece en el conductor $i$ cuando dicho conductor está a potencial unidad y el resto de los conductores están a tierra.

el coeficiente de capacidad $C i k$ es la carga por unidad de potencial que se induce en el conductor $i$ cuando el conductor $k$ está a potencial unidad y el resto de los conductores (incluyendo el $i$ ) están a tierra.

4.2 Unidades

Dado que relacionan un potencial con una carga, tanto los coeficientes de capacidad como los de inducción se miden en Faradios

$1\,\mathrm{F}=\frac{1\,\mathrm{C}}{1\,\mathrm{V}}$

Sin embargo, en la mayoría de las situaciones prácticas, un faradio es una unidad gigantesca. Por ello, es mucho más frecuente emplear picofaradios o nanofaradios.

4.3 Simetría

Los coeficientes de inducción son simétricos, esto es,

$C_{ik}=C_{ki}\,$

en palabras, se tiene un principio de reciprocidad: la carga que se induce en el conductor $i$ cuando el $k$ está a potencial unidad y el resto a tierra, es la misma que se induce en el conductor $k$ cuando es el $i$ el que está a potencial unidad y el resto a tierra. Este resultado puede parecer un poco antiintuitivo, pues puede ocurrir que el conductor $i$ sea de tamaño gigantesco, y el $k$ diminuto, y aun así su influencia mutua será la misma (en un caso al conductor pequeño le cabe muy poca carga, y en el otro, produce muy poco efecto, induciendo muy poca carga en el grande.

Esto quiere decir que la matriz de los coeficientes de capacidad e inducción es una matriz simétrica.

4.3.1 Demostración

La simetría de los coeficientes de inducción es una consecuencia de la segunda identidad de Green:

$\int_\tau\left(\phi\nabla^2\psi-\psi\nabla^2\phi\right)\mathrm{d}\tau=\oint_{\partial\tau}\left(\phi\nabla\psi-\psi\nabla\phi\right)\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}$

Si en esta identidad hacemos $φ = φ i$ y $ψ = φ k$ , dos de las funciones base, el primer miembro se anula ya que ambas verifica la ecuación de Laplace en el espacio entre los conductores

$\nabla^2\phi=\nabla^2\phi_k=0\,$ $\Rightarrow$ $\int_\tau\left(\phi\nabla^2\psi-\psi\nabla^2\phi\right)\mathrm{d}\tau=0$

El segundo miembro es una integral sobre la frontera del dominio, que podemos descomponer en la superficie de cada uno de los conductores, más la frontera exterior del sistema

$\oint_{\partial\tau}\left(\phi_i\nabla\phi_k-\phi_k\nabla\phi_i\right)\cdot\mathrm{d}\mathbf{S} = -\sum_{n=1}^N\oint_{S_n}\left(\phi_i\nabla\phi_k-\phi_k\nabla\phi_i\right)\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}_n + \oint_{S_\mathrm{ext}}\left(\phi_i\nabla\phi_k-\phi_k\nabla\phi_i\right)\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}_\mathrm{ext}$

El signo menos que precede a las integrales sobre las superficies $S n$ se debe a que la normal a $\partial\tau$ va hacia el exterior del volumen entre los conductores, esto es, hacia dentro de los conductores, mientras que en las definiciones de los $C i k$ hemos considerado las normales hacia el exterior de los conductores.

Tanto $\phi_i\,$ como $φ k$ se anula en la superficie externa del sistema (sea una jaula de Faraday o el infinito), y cada una de las superficies conductoras valen una constante, que puede ser 0 ó 1. Por ello, se cumple que

$\sum_{n=1}^N\oint_{S_n}\left(\phi_i\nabla\phi_k\right)\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}_n = \oint_{S_i}\nabla\phi_k\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}_i$

ya que $φ i$ se anula en todas las superficies, menos en $S i$ , en la que vale 1. Del mismo modo

$\sum_{n=1}^N\oint_{S_n}\left(\phi_k\nabla\phi_i\right)\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}_n = \oint_{S_k}\nabla\phi_i\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}_k$

Por tanto, obtenemos la relación

$0=-\oint_{S_i}\nabla\phi_k\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}_i-\oint_{S_k}\nabla\phi_i\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}_k$

o, equivalentemente,

$-\oint_{S_i}\varepsilon_0\nabla\phi_k\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}_i=-\oint_{S_k}\varepsilon_0\nabla\phi_i\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}_k$

o, en términos de los coeficientes de inducción,

$C_{ik}=C_{ki}\,$

4.4 Signo

4.5 =Coeficientes de capacidad

Los coeficientes de capacidad son siempre estrictamente positivos

$C_{ii}>0\,$

Puede razonarse fácilmente considerando la estructura de las líneas de campo. Supongamos el conductor $i$ a potencial unidad y el resto a tierra. Puesto que el campo eléctrico va de mayor a menor potencial, las líneas de campo deben partir del conductor i hacia el resto de los conductores o hacia el infinito, que se encuentran a menor potencial. Por la misma razón, ninguna línea de campo irá a parar al conductor $i$ ya que el resto de las posibles fuentes de campo se encuentran a menor potencial. Si el campo sólo sale del conductor $i$ y no entra en él, el flujo del campo eléctrico será necesariamente positivo, y por la ley de Gauss, el mismo signo tendrá la carga almacenada

No se pudo entender (Falta el ejecutable de <strong>texvc</strong>. Por favor, lea <em>math/README</em> para configurarlo.): C_{ii}=\oint_{S_i}\varepsilon_0\mathbf{E}_i\cdot\mathrm{d}\mathbd{S}_i>0

5 Casos particulares

5.1 Un solo conductor

5.1.1 El ejemplo de la esfera conductora

5.2 Dos conductores

5.2.1 Dos esferas concéntricas

6 Apantallamiento

@@ Línea 133: / Línea 133: @@
 El signo menos que precede a las integrales sobre las superficies <math>S_n</math> se debe a que la normal a <math>\partial\tau</math> va hacia el exterior del volumen entre los conductores, esto es, hacia dentro de los conductores, mientras que en las definiciones de los <math>C_{ik}</math> hemos considerado las normales hacia el exterior de los conductores.
-Tanto <math>\phi_i</math> como <math>\phi_k</math> se anula en la superficie externa del sistema (sea una jaula de Faraday o el infinito), y cada una de las superficies conductoras valen una constante, que puede ser 0 ó 1. Por ello, se cumple que
+Tanto <math>\phi_i\,</math> como <math>\phi_k</math> se anula en la superficie externa del sistema (sea una jaula de Faraday o el infinito), y cada una de las superficies conductoras valen una constante, que puede ser 0 ó 1. Por ello, se cumple que
 <center><math>\sum_{n=1}^N\oint_{S_n}\left(\phi_i\nabla\phi_k\right)\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}_n = \oint_{S_i}\nabla\phi_k\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}_i</math></center>

Coeficientes de capacidad

De Laplace

Revisión de 19:11 17 ene 2010

Contenido

1 Problema del potencial

2 Solución del problema del potencial

3 Cargas en los conductores

4 Coeficientes de capacidad e inducción

4.1 Definición e interpretación

4.2 Unidades

4.3 Simetría

4.3.1 Demostración

4.4 Signo

4.5 =Coeficientes de capacidad

5 Casos particulares

5.1 Un solo conductor

5.1.1 El ejemplo de la esfera conductora

5.2 Dos conductores

5.2.1 Dos esferas concéntricas

6 Apantallamiento

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