Sistemas de partículas
De Laplace
(→Descomposición de la energía cinética) |
(→Descomposición de la energía cinética) |
||
Línea 172: | Línea 172: | ||
queda, para la energía cinética individual, | queda, para la energía cinética individual, | ||
- | <center><math>K_i = \frac{1}{2}m_i(\mathbf{v}_C+\mathbf{v}'_i)\cdot(\mathbf{v}_C+\mathbf{v}'_i) = \frac{1}{2}m_iv_C^2+mi\mathbf{v}_C\cdot\mathbf{v}'_i+\frac{1}{2} | + | <center><math>K_i = \frac{1}{2}m_i(\mathbf{v}_C+\mathbf{v}'_i)\cdot(\mathbf{v}_C+\mathbf{v}'_i) = \frac{1}{2}m_iv_C^2+mi\mathbf{v}_C\cdot\mathbf{v}'_i+\frac{1}{2}m_i{v'}_i^2</math></center> |
y para la energía cinética total | y para la energía cinética total |
Revisión de 11:27 13 dic 2009
Contenido |
1 Definición de sistema de partículas
En mecánica consideramos un sistema de partículas como un conjunto de N puntos materiales que se mueven por separado, si bien interactúan entre sí y están sometidos a fuerzas externas.
Cada una de las partículas del sistema posee una masa propia, mi, siendo un índice que sirve para etiquetar individualmente cada una de las partículas. la partícula i está caracterizada por una posición y una velocidad . Esta posición y esta velocidad evolucionan de acurdo con las leyes de la dinámica
siendo la resultante de las fuerzas que actúan sobre la partícula i. Esta resultante se compone de las fuerzas que cada una de las demás partículas del sistema ejerce sobre i, más la resultante de las fuerzas externas aplicadas sobre ella
Este sumatorio representa la suma sobre las partículas restantes, esto es k va de 1 hasta N, excluyendo el caso k = i, ya que admitimos que una partícula no produce fuerza sobre sí misma (equivalentemente, ).
Suponemos que las interacciones entre las partículas obdecen la 3ª ley de Newton
o, lo que es lo mismo
En la mayoría de los casos se cumplirá además que la fuerza que la partícula k ejerce sobre la i (y por tanto la que la i ejerce sobre la k) va en la dirección de la recta que une ambas partículas. Matemáticamente, esto se expresa imponiendo que el vector es paralelo a la posición relativa , esto es, si
Eliminando paréntesis y aplicando la tercera ley de Newton esto equivale a la condición
2 Propiedades de un sistema de partículas
Un sistema de partículas puede contener 2 o 3 partículas, pero también muchos miles de millones de ellas (por ejemplo 1 cm³ de agua contiene moléculas, cada una de las cuales contiene 26 partículas, entre protones, neutrones y electrones). Por ello, en la mayoría de los casos no es posible estudiar un sistema de partículas a partir de la evolución de cada uno de las partículas que lo forman (entre otras cosas, porque desconocemos la posición y la velocidad exacta de cada una).
En su lugar, nos restringimos a considerarlas colectivamente, definiendo propiedades del conjunto, que cumplen sus propias leyes de evolución. Esta reducción es particularmente útil en el caso del sólido rígido, para el cual las magnitudes que vamos a definir a continuación son suficientes para determinar la evolución del sistema completo.
2.1 Masa total
La masa total del sistema es la suma de las masas de los partículas que lo componen
2.1.1 Densidad de masa
Cuando tenemos un sistema de muchos millones de partículas (como en un sólido, o un fluido), no es práctico hacer el sumatorio de las masas individuales. En su lugar se divide el sistema en elementos de volumen, Δτ, que son regiones del espacio lo suficientemente pequeñas para tratarlas como diferenciales, pero lo suficientemente grandes como para que contengan miles de partículas. El sistema se considera entonces como continuo, esto es, en lugar de describirse como formado por partículas separadas, se considera constituido por elementos de volumen adyacentes.
Se define entonces la densidad de masa, ρ de un elemento de volumen, como la masa de las partículas que lo forman, dividida por el volumen del elemento
Dicho de otra forma, la masa de un elemento de volumen es el producto de la densidad de masa por el volumen del elemento
La masa total del sistema será la suma de la masa de todos sus elementos
Una suma de muchas cantidades muy pequeñas no es otra cosa que una integral
Aquí la densidad es una función de la posición porque en un sistema no homogéneo (por ejemplo, el cuerpo humano) la densidad varía de un punto a otro.
2.2 Centro de masas
El centro de masas (CM) de un sistema de partículas es una media ponderada, según la masa individual, de las posiciones de todas las partículas que lo componen
Equivalentemente se cumple
En el caso de un sistema continuo, habrá que sumar para todos los elementos que lo componen
2.2.1 Velocidad del centro de masas
El centro de masas no es un punto fijo, sino que puede desplazarse cuando lo hacen las partículas del sistema. Obtenemos su velocidad derivando la definición respecto al tiempo
2.2.2 Posición relativa al centro de masas
Una vez definida la posición del centro de masas, interesa indicar dónde están situadas las partículas respecto al CM. Esto se consigue definiendo la posición relativa
De manera análoga se define la velocidad relativa al CM
2.3 Cantidad de movimiento
La cantidad de movimiento (o momento lineal) del sistema es la suma de las cantidades de movimiento de cada una de las partículas
La cantidad de movimiento se relaciona directamente con el centro de masas del sistema. Derivando respecto al tiempo la relación
obtenemos
esto es
En palabras: la cantidad de movimiento del sistema equivale a la que tendría una sola partícula material que concentrara toda la masa del sistema y que se moviera como el centro de masas de éste.
De la relación entre cantidad de movimiento y centro de masas se llega a que la cantidad de movimiento del sistema respecto al centro de masas es siempre nula
Esto permite redefinir el centro de masas como aquel punto (variable) desde el cual la cantidad de movimiento del sistema es nula en todo momento. Cuando un sistema de partículas se estudia empleando este punto como origen del sistema de referencia se dice que se está estudiando desde el sistema centro de masas.
2.4 Momento angular (o cinético)
De manera análoga a la cantidad de movimiento, se define el momento cinético (o angular) de un sistema de partículas como la suma vectorial de los momentos cinéticos individuales
2.4.1 Descomposición del momento angular
Las ecuaciones de la dinámica de sistemas se simplificarían notablemente si el momento angular, como el lineal, equivaliera al de una partícula puntual que concentrara toda la masa. No es así.
Para relacionar el momento angular con el centro de masa, descomponemos cada posición y cada velocidad en suma de la del centrode masa más la posición o velocidad relativas
Con esta descomposición, el momento angular de cada partícula se separa en cuatro términos
Al sumar los momentos cinéticos individuales para obtener el momento angular total nos quedan cuatro sumas, en cada una de las cuales podemos sacar factor común la posición o la velocidad del CM, que es una cantidad que no depende del índice i
Ahora bien, de la definición de centro de masas se deduce que
y, del mismo modo,
Por tanto, el segundo y el tercer término en la expresión del momento cinético total se anulan y la expresión se reduce a
donde
es el momento angular relativo al centro de masas.
Según esto, el momento angular o cinético de un sistema de partículas se compone de dos contribuciones: el momento angular que tendría una partícula que contuviera toda la masa y se moviera como el centro de masas del sistema, más el momento angular que tienen las partículas por moverse alrededor del centro de masas.
Un ejemplo físico sencillo de esta descomposición lo tenemos en el momento angular de la Tierra en cuanto planeta del Sistema Solar. Su momento angular se compone de una parte debida al movimiento de traslación alrededor del Sol (lo que se conoce como momento angular orbital), que sería el primer término, más otra parte debida al movimiento de rotación alrededor de su eje (el llamado momento angular intrínseco), que sería .
2.5 Energía cinética
La energía cinética del sistema es la suma escalar de las energías cinéticas individuales
2.5.1 Descomposición de la energía cinética
Para la energía cinética podemos efectuar una descomposición análoga a la del momento cinético. Escribiendo cada velocidad como suma de la del CM más la relativa
queda, para la energía cinética individual,
y para la energía cinética total
El segundo término se anula por aparecer en él , lo que reduce la energía cinética a
con
la energía cinética del sistema relativa al centro de masas.