Sistemas de partículas
De Laplace
(→Momento angular (o cinético)) |
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De manera análoga a la cantidad de movimiento, se define el momento cinético (o angular) de un sistema de partículas como la suma vectorial de los momentos cinéticos individuales | De manera análoga a la cantidad de movimiento, se define el momento cinético (o angular) de un sistema de partículas como la suma vectorial de los momentos cinéticos individuales | ||
| - | <center><math>\mathbf{L}=\mathbf{L}_1+\mathbf{L}_2 +\cdots = | + | <center><math>\mathbf{L}=\mathbf{L}_1+\mathbf{L}_2 +\cdots = m_1\mathbf{r}_1\times\mathbf{v}_1+m_2\mathbf{r}_2\times\mathbf{r}_2+\cdots = \sum_{i=1}^N m_i\mathbf{r}_i\times\mathbf{v}_i</math></center> |
===Energía cinética=== | ===Energía cinética=== | ||
Revisión de 21:55 12 dic 2009
Contenido |
1 Definición de sistema de partículas
En mecánica consideramos un sistema de partículas como un conjunto de N puntos materiales que se mueven por separado, si bien interactúan entre sí y están sometidos a fuerzas externas.
Cada una de las partículas del sistema posee una masa propia, mi, siendo 
un índice que sirve para etiquetar individualmente cada una de las partículas. la partícula i está caracterizada por una posición 
y una velocidad 
. Esta posición y esta velocidad evolucionan de acurdo con las leyes de la dinámica
siendo 
la resultante de las fuerzas que actúan sobre la partícula i. Esta resultante se compone de las fuerzas que cada una de las demás partículas del sistema ejerce sobre i, más la resultante de las fuerzas externas aplicadas sobre ella
Este sumatorio representa la suma sobre las partículas restantes, esto es k va de 1 hasta N, excluyendo el caso k = i, ya que admitimos que una partícula no produce fuerza sobre sí misma (equivalentemente, 
).
Suponemos que las interacciones entre las partículas obdecen la 3ª ley de Newton
o, lo que es lo mismo
En la mayoría de los casos se cumplirá además que la fuerza que la partícula k ejerce sobre la i (y por tanto la que la i ejerce sobre la k) va en la dirección de la recta que une ambas partículas. Matemáticamente, esto se expresa imponiendo que el vector 
es paralelo a la posición relativa 
, esto es, si
Eliminando paréntesis y aplicando la tercera ley de Newton esto equivale a la condición
2 Propiedades de un sistema de partículas
Un sistema de partículas puede contener 2 o 3 partículas, pero también muchos miles de millones de ellas (por ejemplo 1 cm³ de agua contiene 
moléculas, cada una de las cuales contiene 26 partículas, entre protones, neutrones y electrones). Por ello, en la mayoría de los casos no es posible estudiar un sistema de partículas a partir de la evolución de cada uno de las partículas que lo forman (entre otras cosas, porque desconocemos la posición y la velocidad exacta de cada una).
En su lugar, nos restringimos a considerarlas colectivamente, definiendo propiedades del conjunto, que cumplen sus propias leyes de evolución. Esta reducción es particularmente útil en el caso del sólido rígido, para el cual las magnitudes que vamos a definir a continuación son suficientes para determinar la evolución del sistema completo.
2.1 Masa total
La masa total del sistema es la suma de las masas de los partículas que lo componen
2.1.1 Densidad de masa
Cuando tenemos un sistema de muchos millones de partículas (como en un sólido, o un fluido), no es práctico hacer el sumatorio de las masas individuales. En su lugar se divide el sistema en elementos de volumen, Δτ, que son regiones del espacio lo suficientemente pequeñas para tratarlas como diferenciales, pero lo suficientemente grandes como para que contengan miles de partículas. El sistema se considera entonces como continuo, esto es, en lugar de describirse como formado por partículas separadas, se considera constituido por elementos de volumen adyacentes.
Se define entonces la densidad de masa, ρ de un elemento de volumen, como la masa de las partículas que lo forman, dividida por el volumen del elemento
Dicho de otra forma, la masa de un elemento de volumen es el producto de la densidad de masa por el volumen del elemento
La masa total del sistema será la suma de la masa de todos sus elementos
Una suma de muchas cantidades muy pequeñas no es otra cosa que una integral
Aquí la densidad es una función de la posición porque en un sistema no homogéneo (por ejemplo, el cuerpo humano) la densidad varía de un punto a otro.
2.2 Centro de masas
El centro de masas (CM) de un sistema de partículas es una media ponderada, según la masa individual, de las posiciones de todas las partículas que lo componen
Equivalentemente se cumple
En el caso de un sistema continuo, habrá que sumar para todos los elementos que lo componen
2.2.1 Velocidad del centro de masas
El centro de masas no es un punto fijo, sino que puede desplazarse cuando lo hacen las partículas del sistema. Obtenemos su velocidad derivando la definición respecto al tiempo
2.2.2 Posición relativa al centro de masas
Una vez definida la posición del centro de masas, interesa indicar dónde están situadas las partículas respecto al CM. Esto se consigue definiendo la posición relativa
De manera análoga se define la velocidad relativa al CM
2.3 Cantidad de movimiento
La cantidad de movimiento (o momento lineal) del sistema es la suma de las cantidades de movimiento de cada una de las partículas
La cantidad de movimiento se relaciona directamente con el centro de masas del sistema. Derivando respecto al tiempo la relación
obtenemos
esto es
En palabras: la cantidad de movimiento del sistema equivale a la que tendría una sola partícula material que concentrara toda la masa del sistema y que se moviera como el centro de masas de éste.
De la relación entre cantidad de movimiento y centro de masas se llega a que la cantidad de movimiento del sistema respecto al centro de masas es siempre nula
Esto permite redefinir el centro de masas como aquel punto (variable) desde el cual la cantidad de movimiento del sistema es nula en todo momento. Cuando un sistema de partículas se estudia empleando este punto como origen del sistema de referencia se dice que se está estudiando desde el sistema centro de masas.
2.4 Momento angular (o cinético)
De manera análoga a la cantidad de movimiento, se define el momento cinético (o angular) de un sistema de partículas como la suma vectorial de los momentos cinéticos individuales
