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Condensador con tres capas de dieléctrico

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)
(→Energía inicial)
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podemos sustituir aquí las expresiones, pero es un poco más simple si observamos que
podemos sustituir aquí las expresiones, pero es un poco más simple si observamos que
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y por tanto
y por tanto

Revisión de 12:34 3 sep 2009

Contenido

1 Enunciado

Entre dos placas metálicas, planas y paralelas de sección S y separadas una distancia 3a se encuentran tres capas de dieléctrico, de espesor a cada una. Las capas poseen permitividades \varepsilon_1, \varepsilon_2 y \varepsilon_3. Las dos capas adyacentes a las placas son dieléctricos ideales, mientras que la capa central posee una conductividad σ.

Se establece bruscamente una diferencia de potencial V0 entre las placas conductoras

  1. Determine la distribución del campo eléctrico en todos los puntos entre las placas, en los instantes inmediatamente posteriores a la conexión.
  2. Calcule la energía electrostática almacenada en el sistema en estos instantes iniciales.
  3. Pasado un tiempo largo tras la conexión, ¿cuál es la distribución de campos en el sistema? ¿Cuánto vale la energía almacenada?
  4. ¿Cuánto valen las cargas almacenadas en las placas inmediatamente después de la conexión y mucho tiempo después de ella? ¿Qué trabajo ha realizado el generador en el periodo transitorio?
  5. Sin resolver la evolución temporal de los campos en el sistema, ¿cuánto vale la energía disipada durante el periodo transitorio?

Desprecie los efectos de borde.

2 Introducción

Este problema requiere algunos conceptos de corriente eléctrica pero su solución matemática puede hacerse de forma completa empleando exclusivamente conductores perfectos y dieléctricos ideales.

La idea es que, inmediatamente tras la conexión, no ha dado tiempo a que las cargas se redistribuyan en el material con conductividad (aunque sí en las placas, que son conductores perfectos), de forma que las tres capas se comportan como dieléctricos ideales.

Mucho tiempo tras la conexión, la capa central, conductora, alcanza el equilibrio electrostático y se convierte en equipotencial y el sistema se reduce a solo dos capas de dieléctrico, con un conductor entre ellas.

Este sistema puede resolverse de numerosas formas

  • Resolviendo el problema para el potencial eléctrico
  • Empleando solamente el campo eléctrico y el vector desplazamiento.
  • Usando un circuito equivalente.

Aquí veremos la solución a partir del campo y el desplzamiento; al final comentaremos cómo sería con el circuito equivalente.

3 Situación tras la conexión

La solución de este apartado es una generalización del condensador con dos capas de dieléctrico.

En el instante inmediatamente posterior a la conexión, se establece una diferencia de potencial entre las placas exteriores, que se cargan inmediatamente. Esta diferencia de potencial implica un campo eléctrico en las tres regiones, que no tiene por qué ser el mismo en cada una.

En cada una de las capas, por tratarse de medios homogéneos, no hay carga de volumen y se cumplen las ecuaciones diferenciales

\nabla\times\mathbf{E}_i = \mathbf{0}\,    \nabla\cdot\mathbf{D}_i=0\,    \mathbf{D}_i =\varepsilon_i\mathbf{E}_iuad i=1,2,3

Como en el caso del condensador con dos capas de dieléctrico, si despreciamos los efectos de borde, esto implica que los campos son uniformes en cada región

\mathbf{E}_i = E_{i0}\mathbf{u}_z    \mathbf{D}_i=D_{i0}\mathbf{u}_z

Los valores de estas constantes los obtenemos las condiciones de salto. En el instante t = 0 + aun no se ha acumulado carga en las interfaces entre las capas, de forma que se verifica la continuidad de la componente normal de \mathbf{D}

\mathbf{n}\cdot[\mathbf{D}]=\sigma_s=0\,   \Rightarrow   D_{10}=D_{20}\quad (z=a)        D_{20}=D_{30}\quad(z=2a)

De aquí tenemos que el vector desplazamiento tiene el mismo valor en las tres capas

D_{10}=D_{20}=D_{30}\equiv D_0        \mathbf{D}_i=D_0\mathbf{u}_z   \Rightarrow   \mathbf{E}_i=\frac{D_0}{\varepsilon_i}\mathbf{u}_z

El valor de D0 lo sacamos de que conocemos la diferencia de potencial entre las placas

V_0 = \int_0^{3a} E\,\mathrm{d}z=\int_0^aE_1\,\mathrm{d}z+\int_{a}^{2a}E_2\,\mathrm{d}z+\int_{2a}^{3a}E_3\,\mathrm{d}z=D_0a\left(\frac{1}{\varepsilon_1}+\frac{1}{\varepsilon_2}+\frac{1}{\varepsilon_3}\right)

Despejando de aquí

D_0 = \frac{V_0\varepsilon_1\varepsilon_2\varepsilon_3}{a(\varepsilon_1\varepsilon_2+\varepsilon_1\varepsilon_3+\varepsilon_1\varepsilon_2)}

y el campo eléctrico en cada región será

\mathbf{E}_1=\frac{V_0\varepsilon_2\varepsilon_3}{a(\varepsilon_1\varepsilon_2+\varepsilon_1\varepsilon_3+\varepsilon_2\varepsilon_3)}\mathbf{u}_z        \mathbf{E}_2=\frac{V_0\varepsilon_1\varepsilon_3}{a(\varepsilon_1\varepsilon_2+\varepsilon_1\varepsilon_3+\varepsilon_2\varepsilon_3)}\mathbf{u}_z        \mathbf{E}_3=\frac{V_0\varepsilon_1\varepsilon_2}{a(\varepsilon_1\varepsilon_2+\varepsilon_1\varepsilon_3+\varepsilon_2\varepsilon_3)}\mathbf{u}_z

4 Energía inicial

Una vez que tenemos el campo en cada región, la energía es inmediata

U_\mathrm{e0}=\frac{1}{2}\int \varepsilon E_0^2\,\mathrm{d}\tau

Descomponiendo en las tres regiones

U_\mathrm{e0}=\frac{aS}{2}\left(\varepsilon_1 E_{10}^2+\varepsilon_2 E_{20}^2+\varepsilon_3 E_{30}^2\right)

podemos sustituir aquí las expresiones, pero es un poco más simple si observamos que

\varepsilon_1E_{10}=\varepsilon_2E_{20}=\varepsilon_3E_{30}=D_0\,        aE_{10}+aE_{20}+aE_{30}=V_0\,

y por tanto

U_\mathrm{e}=\frac{SD_0V_0}{2}=\frac{SV_0^2\varepsilon_1\varepsilon_2\varepsilon_3}{2a(\varepsilon_2\varepsilon_3+\varepsilon_1\varepsilon_3+\varepsilon_1\varepsilon_2)}

5 Estado final

6 Cargas en las placas

7 Energía disipada

8 Solución mediante un circuito equivalente

Obtenido de "http://tesla.us.es/wiki/index.php/Condensador_con_tres_capas_de_diel%C3%A9ctrico"

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