Líneas de campo
De Laplace
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==Definición== | ==Definición== | ||
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| + | Dado un campo vectorial <math>\mathbf{E}(\mathbf{r})\,</math>, sus ''líneas de campo'' son las curvas que en cada punto son tangentes al valor del campo en dicho punto. | ||
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| + | Matemáticamente, si <math>\mathbf{r}\,</math> es un punto de una línea de campo, y <math>\mathbf{r}+\mathrm{d}\mathbf{r}\,</math> es el ''siguiente'' punto a lo largo de la misma línea, se cumple que | ||
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| + | <center><math>\mathfm{d}\mathbf{r}\parallel \mathbf{E}</math></center> | ||
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| + | Dos vectores son paralelos cuando son proporcionales, esto es | ||
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| + | <center><math>\mathfm{d}\mathbf{r}=\mathbf{E}\,\mathrm{d}t</math></center> | ||
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| + | donde la constante de proporcionalidad debe ser diferencial, pues <math>\mathrm{d}\mathbf{r}\,</math> es un vector de módulo diferencial y <math>\mathbf{E}\,</math> no lo es. Podemos escribir esta relación como una ecuación diferencial | ||
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| + | <center><math>\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t} = \mathbf{E}(\mathbf{r})</math></center> | ||
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| + | Podemos leer esta ecuación como que nos movemos a lo largo de la línea con una velocidad dada por el valor del campo en cada punto. El parámetro <math>t\,</math> no es el tiempo, pero para interpretar los resultados podemos imaginárnoslo como tal | ||
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| + | Esta ecuación diferencial es vectorial, lo cual quiere decir que en realidad contiene tres ecuaciones escalares acopladas, por ejemplo, en cartesianas | ||
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| + | <center><math>\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = E_x(x,y,z)</math></center> | ||
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| + | <center><math>\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} = E_y(x,y,z)</math></center> | ||
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| + | <center><math>\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t} = E_z(x,y,z)</math></center> | ||
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| + | El que las ecuaciones sean acopladas implica que no pueden resolverse sucesivamente. Para hallar <math>x(t)\,</math> precisamos de <math>y(t)\,</math> y <math>z(t)\,</math> y viceversa. Por ello, en pocas ocasiones pueden determinarse analíticamente las ecuaciones de las líneas de campo, incluso en casos sencillos. Numéricamente, en cambio, suele ser un ejercicio sencillo. | ||
==Campo uniforme== | ==Campo uniforme== | ||
Revisión de 17:44 2 dic 2007
Contenido |
1 Definición
Dado un campo vectorial 
, sus líneas de campo son las curvas que en cada punto son tangentes al valor del campo en dicho punto.
Matemáticamente, si 
es un punto de una línea de campo, y 
es el siguiente punto a lo largo de la misma línea, se cumple que
Dos vectores son paralelos cuando son proporcionales, esto es
donde la constante de proporcionalidad debe ser diferencial, pues 
es un vector de módulo diferencial y 
no lo es. Podemos escribir esta relación como una ecuación diferencial
Podemos leer esta ecuación como que nos movemos a lo largo de la línea con una velocidad dada por el valor del campo en cada punto. El parámetro 
no es el tiempo, pero para interpretar los resultados podemos imaginárnoslo como tal
Esta ecuación diferencial es vectorial, lo cual quiere decir que en realidad contiene tres ecuaciones escalares acopladas, por ejemplo, en cartesianas
El que las ecuaciones sean acopladas implica que no pueden resolverse sucesivamente. Para hallar 
precisamos de 
y 
y viceversa. Por ello, en pocas ocasiones pueden determinarse analíticamente las ecuaciones de las líneas de campo, incluso en casos sencillos. Numéricamente, en cambio, suele ser un ejercicio sencillo.
2 Campo uniforme
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