De Laplace

(Diferencias entre revisiones)

Revisión de 18:07 1 dic 2007

Contenido

1 Campos en tres dimensiones
2 Definición
3 ==

1 Campos en tres dimensiones

La visualización de campos dependientes de dos coordenadas es relativamente sencilla

Sin embargo, cuando se trata de una función de las tres coordenadas, la cosa se complica. Ya no disponemos de la tercera dimensión para hacer una gráfica de elevación, y cualquier representación bidimensional se referirá a una sección del espacio.

2 Definición

La forma más fructífera de representar los campos escalares funciones de las tres coordenadas es con ayuda de las superficies equiescalares o equipotenciales, definida cada una de ellas como el conjunto de los puntos en que el campo escalar tiene un cierto valor fijado:

$\phi(x,y,z) = k\,$

Una propiedad importante de las superficies equipotenciales es que no se cortan entre sí, dado que el campo posee un solo valor en cada punto.

Un ejemplo habitual es el de las isobaras de un mapa del tiempo.

Sin embargo, este mapa es sólo una representación de las líneas correspondientes a la presión a nivel del mar, $p = p(x,y)\,$ . Una verdadera representación de las isobaras debería incluir superficies en un volumen tridimensional. Estas superficies, en el caso de la presión, se envolverían unas a otras como capas de una cebolla.

Para casos más generales, las superficies equipotenciales pueden tener formas muy complejas. Por ejemplo, en el caso del campo escalar

φ = - x 4 + x 2 - y 4 + y 2 + z 2

resultan superficies como estas:

Normalmente, en muy pocos casos puede uno imaginar la forma de las superficies equipotenciales. Eso no impide usarlas como herramientas por sus propiedades geométricas. Lo veremos en su aplicación al potencial eléctrico y su gradiente, el campo electrostático.

3 ==

No obstante lo anterior, existen ejemplos sencillos (e importantes) en los cuales se puede determinar la forma de las superficies equipotenciales.

3.1 El campo $\phi = \mathbf{A}\cdot\mathbf{r}\,$

Sea $\mathbf{A}\,$ un vector constante y $\mathbf{r}\,$ el vector de posición. Construimos un campo escalar $\phi\,$ multiplicándolos escalarmente. Para describir las superficies equipotenciales podemos suponer que $\mathbf{A}\,$ tiene componentes según los tres ejes de coordenadas, pero en realidad no tenemos por qué.

Puesto que los ejes no están fijados de antemano, podemos elegirlos como más nos convenga. En particular, podemos tomar el eje $OZ\,$ apuntando en la dirección de $\mathbf{A}\,$ , de forma que este vector se escribe

$\mathbf{A} = A\,\mathbf{u}_z$

y el campo escalar $\phi\,$ es simplemente

$\phi = \mathbf{A}\cdot\mathbf{r}\, = Az$

por tanto las superficies equiescalares son planos paralelos

$\phi = \mathrm{cte}\qquad\Rightarrow\qquad z = \mathrm{cte}$

Estos planos son perpendiculares al eje $OZ\,$ . Por tanto, las superficies equipotenciales del campo $\phi = \mathbf{A}\cdot\mathbf{r}\,$ son planos paralelos entre sí y perpendiculares al vector $\mathbf{A}\,$ .

3.2 El campo $\phi = |\mathbf{r}|^2\,$

Aunque en cartesianas la visualización del campo $\phi = |\mathbf{r}|^2\,$ es sencilla, en coordenadas esféricas es inmediata ya que $|\mathbf{r}| = r$ , con r la coordenada esférica radial. Por tanto las superficies equiescalares cumplen

$\phi = \mathrm{cte}\qquad\Rightarrow\qquad r = \mathrm{cte}$

esto es, son esferas con centro el origen (las superficies coordenadas de la coordenada radial).

3.3 El campo $\phi = |\mathbf{r}|^2 + \mathbf{A}\cdot\mathbf{r}\,$

El campo $\phi = |\mathbf{r}|^2 + \mathbf{A}\cdot\mathbf{r}\,$ es la suma de los dos anteriores. Sin embargo, sus superficies equiescalares no son la suma de nada, ya que no se pueden sumar planos con esferas.

Si, como en el ejemplo anterior, tomamos el eje $OZ\,$ como el que apunta en la dirección de $\mathbf{A}\,$ , podemos escribir el campo en cartesianas como

$\phi = x^2 + y^2 + z^2 + Az\,$

y las superficies equiescalares cumplen

$x^2 + y^2 + z^2 + Az = k\,$

Sumando el mismo término en ambos miembros queda

$x^2+y^2 + \left(z+\frac{A}{2}\right) = k + \frac{A^2}{4}$

que son las ecuaciones de esferas concéntricas, con centro y radio

$\mathbf{C} = -\frac{A}{2}\mathbf{u}_z = - \frac{\mathbf{A}}{2} \qquad R(k) = \sqrt{k + \frac{A^2}{2}}$

3.4 Un ejemplo aparentemente más complicado

Supongamos que se nos pide dibujar las superficies equiescalares del campo

$\phi = \mathrm{arctg}\left(\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{z}\right)$

Aunque de entrada puede parecer complicado, si recordamos las relaciones entre los distintos sistemas de coordenadas podemos ver que

φ = θ

y por tanto las superficies $\phi = \mathrm{cte}\,$ son conos rectos con vértice el origen y eje el eje $OZ\,$ .

3.5 Enlaces

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 Normalmente, en muy pocos casos puede uno ''imaginar'' la forma de las superficies equipotenciales. Eso no impide usarlas como herramientas por sus propiedades geométricas. Lo veremos en su aplicación al [[potencial eléctrico]] y su [[gradiente]], el [[campo electrostático]].
-==[[Ejemplos de superficies equiescalares]]==
+====
 No obstante lo anterior, existen ejemplos sencillos (e importantes) en los cuales se puede determinar la forma de las superficies equipotenciales.

Superficies equiescalares

De Laplace

Revisión de 18:07 1 dic 2007

Contenido

1 Campos en tres dimensiones

2 Definición

3 ==

3.1 El campo $\phi = \mathbf{A}\cdot\mathbf{r}\,$

3.2 El campo $\phi = |\mathbf{r}|^2\,$

3.3 El campo $\phi = |\mathbf{r}|^2 + \mathbf{A}\cdot\mathbf{r}\,$

3.4 Un ejemplo aparentemente más complicado

3.5 Enlaces

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