Momento magnético de una esfera en rotación
De Laplace
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==Solución== | ==Solución== | ||
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| - | El [[momento magnético]] de una distribución de corriente de volumen se calcula mediante la integral vectorial | + | El [[momento dipolar magnético]] de una distribución de corriente de volumen se calcula mediante la integral vectorial |
<center><math>\mathbf{m}=\frac{1}{2}\int \mathbf{r}'\times\mathbf{J}\,\mathrm{d}\tau'</math></center> | <center><math>\mathbf{m}=\frac{1}{2}\int \mathbf{r}'\times\mathbf{J}\,\mathrm{d}\tau'</math></center> | ||
| Línea 22: | Línea 22: | ||
Si tomamos como eje Z el marcado por la velocidad angular nos queda la densidad de corriente | Si tomamos como eje Z el marcado por la velocidad angular nos queda la densidad de corriente | ||
| - | <center><math>\mathbf{w}=w\mathbf{u}_z\,</math>{{qquad}}{qquad}}<math>\mathbf{r}=r\mathbf{r}\,</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\mathbf{J}=\rho_0wr\,\mathrm{sen}\,\theta\mathbf{u}_\varphi</math></center> | + | <center><math>\mathbf{w}=w\mathbf{u}_z\,</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\mathbf{r}'=r'\mathbf{u}_{r'}\,</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\mathbf{J}=\rho_0wr'\,\mathrm{sen}\,\theta'\mathbf{u}_{\varphi'}</math></center> |
El último producto vectorial puede obtenerse usando las [[relaciones entre las bases vectoriales]] o la propia definición de producto vectorial como un vector cuyo módulo es el producto de los módulos por el seno del ángulo que forman (que es <math>\theta</math>, por definición de esta coordenada), y con una dirección ortogonal a ambos. | El último producto vectorial puede obtenerse usando las [[relaciones entre las bases vectoriales]] o la propia definición de producto vectorial como un vector cuyo módulo es el producto de los módulos por el seno del ángulo que forman (que es <math>\theta</math>, por definición de esta coordenada), y con una dirección ortogonal a ambos. | ||
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Llevando esto a la integral nos queda el integrando | Llevando esto a la integral nos queda el integrando | ||
| - | <center><math>\mathbf{r}\times\mathbf{J}=-\rho_0wr^2\,\mathrm{sen}\,\theta\,\mathbf{u}_\theta</math></center> | + | <center><math>\mathbf{r}'\times\mathbf{J}=-\rho_0wr'^2\,\mathrm{sen}\,\theta'\,\mathbf{u}_{\theta'}</math></center> |
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| + | y nos queda el momento magnético | ||
| + | <center><math> | ||
| + | \mathbf{m}=-\frac{\rho_0w}{2}\int_0^{2\pi}\int_0^\pi\!\!\int_0^R (r'^2\,\mathrm{sen}\,\theta'\,\mathbf{u}_{\theta'})r'^2\,\mathrm{sen}\,\theta'\,\mathrm{d}r'\,\mathrm{d}\theta'\,\mathrm{d}\varphi'</math></center> | ||
===Momento angular=== | ===Momento angular=== | ||
Revisión de 19:23 27 mar 2009
Contenido |
1 Enunciado
Calcule el momento magnético dipolar de una esfera de radio R, con una carga q distribuida uniformemente en su volumen y que gira con velocidad angular 
.
Establezca la proporcionalidad entre este momento magnético y el momento angular de la esfera, si ésta posee una masa m distribuida uniformemente en el volumen.
2 Solución
2.1 Momento magnético
El momento dipolar magnético de una distribución de corriente de volumen se calcula mediante la integral vectorial
siendo el volumen de integración aquél en que hay corriente. En nuestro caso, se trata de la esfera de radio R. Por ello usaremos coordenadas esféricas para realizar el cálculo.
La densidad de corriente en el caso de que tengamos una distribución de carga que se mueve rígidamente es
La velocidad de los puntos de la esfera corresponde a una rotación pura
Si tomamos como eje Z el marcado por la velocidad angular nos queda la densidad de corriente
El último producto vectorial puede obtenerse usando las relaciones entre las bases vectoriales o la propia definición de producto vectorial como un vector cuyo módulo es el producto de los módulos por el seno del ángulo que forman (que es θ, por definición de esta coordenada), y con una dirección ortogonal a ambos.
Llevando esto a la integral nos queda el integrando
y nos queda el momento magnético
