Dipolo magnético
De Laplace
(→Demostración detallada) |
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Para empezar hay que justificar el desarrollo de <math>1/|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|</math>. Para ello observamos que se puede escribir como | Para empezar hay que justificar el desarrollo de <math>1/|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|</math>. Para ello observamos que se puede escribir como | ||
| - | <center><math>\frac{1}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}=\frac{1}{\sqrt | + | <center><math>\frac{1}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}=\frac{1}{\sqrt{(\mathbf{r}-\mathbf{r}')\cdot(\mathbf{r}-\mathbf{r}')}}=\left(r^2-2\mathbf{r}\cdot\mathbf{r}'+r^{'2}\right)^{-1/2}</math></center> |
y sacando factor común un <math>r^2</math> de la raíz | y sacando factor común un <math>r^2</math> de la raíz | ||
<center><math>\frac{1}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}=(r^2)^{-1/2}\left(1-2\frac{\mathbf{r}\cdot\mathbf{r}'}{r^2}+\frac{r^{'2}}{r^2}\right)^{-1/2} = \frac{1}{r}\left(1+\left(-2\frac{\mathbf{r}\cdot\mathbf{r}'}{r^2}+\frac{r^{'2}}{r^2}\right)\right)^{-1/2}</math></center> | <center><math>\frac{1}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}=(r^2)^{-1/2}\left(1-2\frac{\mathbf{r}\cdot\mathbf{r}'}{r^2}+\frac{r^{'2}}{r^2}\right)^{-1/2} = \frac{1}{r}\left(1+\left(-2\frac{\mathbf{r}\cdot\mathbf{r}'}{r^2}+\frac{r^{'2}}{r^2}\right)\right)^{-1/2}</math></center> | ||
| + | |||
| + | Hasta aquí no hay aproximación alguna. Observamos que en el último factor tenemos 1 más algo mucho más pequeño que la unidad (pues <math>r'\ll r</math>). La fórmula general del binomio de Newton nos dice que si <math>x\ll 1</math> | ||
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| + | <center><math>(1+x)^n = 1 + n x + \mathrm{O}(x^2)\,</math></center> | ||
Si sustituimos el desarrollo del binomio de Newton | Si sustituimos el desarrollo del binomio de Newton | ||
Revisión de 14:00 26 mar 2009
Contenido |
1 Desarrollo multipolar magnético
Supongamos que tenemos una distribución de corriente estacionaria que ocupa una pequeña región del espacio y queremos hallar el campo en puntos alejados.
Cuando se dice “una pequeña región del espacio” se entiende que comparada con la distancia al punto de observación. Matemáticamente:
Como con el campo eléctrico, la idea del desarrollo multipolar es hacer un cálculo aproximado, más sencillo que la integral exacta (la cual puede ser imposible de calcular) mediante el empleo de una serie de Taylor. Partimos de la expresión del potencial vector para el caso de una espira
Aplicando el desarrollo del binomio de Newton
resulta (de forma no trivial) la expresión aproximada para el potencial vector
donde
es el momento magnético dipolar de la espira.
1.1 Demostración detallada
La obtención de la expresión aproximada del potencial vector no es elemental.
Para empezar hay que justificar el desarrollo de 
. Para ello observamos que se puede escribir como
y sacando factor común un r2 de la raíz
Hasta aquí no hay aproximación alguna. Observamos que en el último factor tenemos 1 más algo mucho más pequeño que la unidad (pues 
). La fórmula general del binomio de Newton nos dice que si 
Si sustituimos el desarrollo del binomio de Newton
