Dinámica de masa en varilla articulada (CMR)
De Laplace
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<center><math>\mathrm{d}x(x-b\cos(\Omega t))+\mathrm{d}y(y-b\,\mathrm{sen}(\Omega t))+b\Omega\,\mathrm{d}t(x\,\mathrm{sen}(\Omega t)-y\cos(\Omega t))=0</math></center> | <center><math>\mathrm{d}x(x-b\cos(\Omega t))+\mathrm{d}y(y-b\,\mathrm{sen}(\Omega t))+b\Omega\,\mathrm{d}t(x\,\mathrm{sen}(\Omega t)-y\cos(\Omega t))=0</math></center> | ||
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| + | ==Ecuación de movimiento== | ||
| + | Siguiendo los cálculos y la notación del problema “[[Cinem%C3%A1tica_de_dos_barras_articuladas_(CMR)|Dos barras articuladas]]” la posición, velocidad y aceleración de A son | ||
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| + | <center><math>\overrightarrow{OA}=b\vec{\imath}_2\qquad\qquad \vec{v}^A_{21}=b\Omega\vec{\jmath}_2\qquad\qquad \vec{a}^A_{21}=-b\Omega^2\vec{\imath}_2</math></center> | ||
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| + | Por ser A una articulación entre los sólidos 2 y 3, estos valores corresponden también al movimiento {31}. | ||
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| + | Para el punto P tenemos la posición | ||
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| + | <center><math>\overrightarrow{OP}=b\vec{\imath}_2+\ell\vec{\imath}_3</math></center> | ||
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| + | <center><math>\vec{v}^P_{31}=b\Omega\vec{\jmath}_2+\ell(\Omega+\dot{\theta})\vec{\jmath}_3</math></center> | ||
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| + | y la aceleración | ||
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| + | <center><math>\vec{a}^P_{31}=-b\Omega^2\vec{\imath}_2+\ell\ddot{\theta}\vec{\jmath}_3-\ell(\Omega+\dot{\theta})^2\vec{\jmath}_3</math></center> | ||
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| + | La única fuerza que actúa sobre la masa en P es la tensión de la varilla, de manera que la segunda Ley de Newton queda | ||
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| + | <center><math>m\vec{a}^P_{31}=-F_{T}\vec{\imath}_3</math></center> | ||
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| + | Sustituimos la aceleración de P | ||
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| + | <center><math>-mb\Omega^2\vec{\imath}_2+m\ell\ddot{\theta}\vec{\jmath}_3-m\ell(\Omega+\dot{\theta})^2\vec{\jmath}_3=-F_{T}\vec{\imath}_3</math></center> | ||
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| + | Para eliminar la tensión de los cálculos proyectamos sobre la dirección ortogonal, que en este caso es la de <math>\vec{\jmath}_3</math>. Queda | ||
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| + | <center><math>mb\Omega^2\,\mathrm{sen}(\theta)+m\ell\ddot{\theta}=0</math></center> | ||
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| + | o, equivalentemente, | ||
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| + | <center><math>\ddot{\theta}=-\frac{b\Omega^2}{\ell}\mathrm{sen}(\theta)</math></center> | ||
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| + | Esta es la ecuación de un péndulo simple. Empleando fuerzas ficticias, diríamos que aquí el papel de la gravedad lo desempeña la fuerza centrífuga. Así es como se llegaría a este mismo resultado empleando un sistema de referencia en rotación. | ||
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| + | ==Puntos de equilibrio== | ||
| + | Al ser la ecuación de movimiento equivalente a un péndulo, al análisis del equilibrio es idéntico. | ||
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| + | * <math>\theta=0</math> representa un punto de equilibrio estable. | ||
| + | * <math>\theta=\pi</math> representa un punto de equilibrio inestable. | ||
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| + | Es decir, el sistema sería estable con la varilla AP completamente extendida y sería inestable con AP plegada sobre OA. | ||
última version al 14:11 9 ene 2021
Contenido |
1 Enunciado
Se tiene un sistema horizontal en el que una partícula P, de masa m, se encuentra unida a una varilla de longitud 
cuyo otro extremo, A, se halla articulado a una segunda varilla, de longitud b, cuyo segundo extremo, O, está fijo. La varilla OA gira en torno a O con velocidad angular constante Ω, mientras que la varilla AP puede girar libremente en torno a A. Sea θ el ángulo que AP forma con la prolongación de OA.
- ¿Qué vínculo hay entre las coordenadas cartesianas de P? Escríbalo en forma geométrica, cinemática y pfaffiana.
- Obtenga la ecuación de movimiento para el ángulo θ.
- ¿Qué puntos de equilibrio hay para el ángulo θ? ¿Son estables o inestables?
2 Ecuación de vínculo
La ecuación de vínculo sobre P es que su distancia al punto A es constante
Se trata de escribir esta relación en términos de las coordenadas cartesianas de P.
La posición de A es en todo momento
con lo que la ecuación de vínculo se puede escribir en la forma
Esta sería la forma geométrica.
Obtenemos la forma cinemática derivando esta respecto al tiempo.
Simplificando por 2 y agrupando términos queda
La forma pfaffiana se obteien multiplicando la condición cinemática por dt
3 Ecuación de movimiento
Siguiendo los cálculos y la notación del problema “Dos barras articuladas” la posición, velocidad y aceleración de A son
Por ser A una articulación entre los sólidos 2 y 3, estos valores corresponden también al movimiento {31}.
Para el punto P tenemos la posición
la velocidad
y la aceleración
La única fuerza que actúa sobre la masa en P es la tensión de la varilla, de manera que la segunda Ley de Newton queda
Sustituimos la aceleración de P
Para eliminar la tensión de los cálculos proyectamos sobre la dirección ortogonal, que en este caso es la de 
. Queda
o, equivalentemente,
Esta es la ecuación de un péndulo simple. Empleando fuerzas ficticias, diríamos que aquí el papel de la gravedad lo desempeña la fuerza centrífuga. Así es como se llegaría a este mismo resultado empleando un sistema de referencia en rotación.
4 Puntos de equilibrio
Al ser la ecuación de movimiento equivalente a un péndulo, al análisis del equilibrio es idéntico.
- θ = 0 representa un punto de equilibrio estable.
- θ = π representa un punto de equilibrio inestable.
Es decir, el sistema sería estable con la varilla AP completamente extendida y sería inestable con AP plegada sobre OA.
