Tensión de una cuerda de piano
De Laplace
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| - | L=\frac{1}{fD}\sqrt{\frac{F_T}{\pi\rho}} = \frac{1}{27.5}\mathrm{s}\times\frac{1.224\times 10^{-3}\mathrm{m}}\times\sqrt{\frac{600\, | + | L=\frac{1}{fD}\sqrt{\frac{F_T}{\pi\rho}} = \frac{1}{27.5}\mathrm{s}\times\frac{1.224\times 10^{-3}\mathrm{m}}\times\sqrt{\frac{600\,\mathrm{N}}{\pi 7.85\,(10^{-3}\mathrm{kg})/(10^{-2)\,\mathrm{m})^3}}=4.63\,\mathrm{m}</math></center> |
Esta longitud es a todas luces excesiva. Es claro que para construir una cuerda de piano habrá que variar o su tensión o su grosor para que quepa dentro del armazón. | Esta longitud es a todas luces excesiva. Es claro que para construir una cuerda de piano habrá que variar o su tensión o su grosor para que quepa dentro del armazón. | ||
Revisión de 13:45 12 mar 2009
Contenido |
1 Enunciado
Las cuerdas de los pianos están hechas esencialmente de acero (ρ = 7.85 g/cm³) tensado
- Determine la ecuación para la tensión de una cuerda si su diámetro es d y su longitud L y debe producir una nota de frecuencia f.
- La nota más grave de un piano es el La de la subcontraoctava (27.5 Hz). Calcule la longitud que debería tener esta cuerda si está hecha de hilo de 1.224\,mm de diámetro y sometida a una tensión de 600 N. ¿Es factible esta longitud?
- Si la longitud de la cuerda está limitada a 110 cm, ¿con qué tensión habría que tensar el hilo anterior para producir la misma nota?
- Si la tensión debe ser 600 N y la longitud 110 cm, ¿qué grosor debería tener la cuerda para producir esta nota? ¿Cuál es el problema de este grosor?
- Si un piano tiene un total de 200 cuerdas, ¿a qué tensión se encuentra la estructura del piano?
2 Solución
2.1 Solución general
Las ondas estacionarias en una cuerda poseen una longitud de onda
siendo la longitud correspondiente al modo fundamental el caso n = 1, λ = 2L. La frecuencia correspondiente a esta longitud de onda es
Sustituyendo el valor de la velocidad para las ondas en una cuerda vibrante
A su vez, la densidad lineal de masa de una cuerda se puede expresar en términos de la densidad volumétrica del material
siendo S = πD2 / 4 la sección transversal del cable, supuesto circular. Llevando esto a la expresión de la frecuencia nos queda
Normalmente, lo que se desea conocer es la tensión a la que hay que someter la cuerda para obtener la frecuencia deseada, lo que nos da la fórmula del afinador de pianos
En la vida real, las cuerdas no se comportan según este modelo tan sencillo y la fórmula se convierte en
siendo C una constante empírica dependiente del piano y de la cuerda en cuestión. Se mantiene no obstante, el hecho de que la tensión es cuadrática con la frecuencia.
2.2 Longitud necesaria
Los siguientes apartados consisten en sustituir en la fórmula anterior.
Si conocemos la tensión, la densidad de masa, el diámetro y la frecuencia deseada, la longitud necesaria será (suponiendo la cuerda ideal)
Esta longitud es a todas luces excesiva. Es claro que para construir una cuerda de piano habrá que variar o su tensión o su grosor para que quepa dentro del armazón.
