Superposición de dos y tres señales

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)

Revisión de 21:21 10 mar 2009

Contenido

1 Enunciado
2 Solución

1 Enunciado

Considere los casos de superposición siguientes

$y_1= A \cos(\omega t - kx)\qquad y_2 = A\,\mathrm{sen}\,(\omega t-kx)$
$y_1= A \cos(\omega t - kx)\qquad y_2 = A \,\mathrm{sen}\,(\omega t+kx)$
$y_1= A\cos(\omega t - kx)\qquad y_2 = -2A\,\mathrm{sen}\,(\omega t)\,\mathrm{sen}\,(k x)$
$y_1= 4A\cos(\omega t - kx)\qquad y_2 = 3A\,\mathrm{sen}\,(\omega t-kx)\qquad y_3 = 5A\cos(\omega t + kx )$

Para cada uno de los casos, determine la ecuación de la señal resultante, ¿es una onda viajera o una estacionaria?

2 Solución

2.1 Primer caso

Debemos sumar las señales

$y_1= A \cos(\omega t - kx)\,$ $y_2 = A\,\mathrm{sen}\,(\omega t-kx)$

Ambas representan señales viajando hacia la izquierda, con la misma frecuencia, por lo que su suma será otra onda viajera, cuya amplitud dependerá del desfase.

Para sumarlas de forma sencilla las escribimos ambas como cosenos. Aplicando la relación trigonométrica

$\mathrm{sen}\left(\alpha\right)=\cos\left(\alpha-\frac{\pi}{2}\right)$

las señales quedan como

$y_1= A \cos(\omega t - kx)\,$ $y_2 = A\cos\left(\omega t-kx-\frac{\pi}{2}\right)$

Aplicando ahora la relación

$\cos(\alpha)+\cos(\beta)=2\cos\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)\cos\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)$

la superposición es

$y = y_1+y_2=2A\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)\cos\left(\omega t-kx-\frac{\pi}{4}\right)=\sqrt{2}A \cos\left(\omega t-kx-\frac{\pi}{4}\right)$

Archivo:Seno+coseno.gif

Resulta una onda viajera, de amplitud $\sqrt{2}A$ (aproximadamente vez y media de la amplitud de cada onda), y con un desfase inicial de π/4.

2.2 Segundo caso

$y_1= A \cos(\omega t - kx)\qquad y_2 = A \,\mathrm{sen}\,(\omega t+kx)$

2.3 Tercer caso

$y_1= A\cos(\omega t - kx)\qquad y_2 = -2A\,\mathrm{sen}\,(\omega t)\,\mathrm{sen}\,(k x)$

2.4 Cuarto caso

$y_1= 4A\cos(\omega t - kx)\qquad y_2 = 3A\,\mathrm{sen}\,(\omega t-kx)\qquad y_3 = 5A\cos(\omega t + kx )$

@@ Línea 34: / Línea 34: @@
 [[Imagen:seno+coseno.gif|left]]Resulta una onda viajera, de amplitud <math>\sqrt{2}A</math> (aproximadamente vez y media de la amplitud de cada onda), y con un desfase inicial de &pi;/4.
-Veamos cómo sería este apartado con ayuda del cálculo fasorial. La primera onda la podemos escribir
-<center><math>y_1=A \cos(\omega t - kx) = \mathrm{Re}\left(A\mathrm{e}^{\mathrm{j}(\omega t-kx}\right)=\mathrm{Re}\left(A\mathrm{e}^{-\mathrm{j}kx}\mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega t}\right)</math>{{tose}}<math>\tilde{y}_1 = A\mathrm{e}^{-\mathrm{j}kx}</math></center>
-La segunda, teniendo en cuenta que
-<center><math>\mathrm{sen}(\alpha)=\mathrm{Im}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j}\alpha}\right)=\mathrm{Re}\left(-\mathrm{j}\mathrm{e}^{\mathrm{j}\alpha}\right)</math></center>
 ===Segundo caso===

Superposición de dos y tres señales

De Laplace

Revisión de 21:21 10 mar 2009

Contenido

1 Enunciado

2 Solución

2.1 Primer caso

2.2 Segundo caso

2.3 Tercer caso

2.4 Cuarto caso

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