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Superposición de dos y tres señales

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)
(→Primer caso)
(→Primer caso)
Línea 15: Línea 15:
<center><math>y_1= A \cos(\omega t - kx)\,</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>y_2 = A\,\mathrm{sen}\,(\omega t-kx)</math></center>
<center><math>y_1= A \cos(\omega t - kx)\,</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>y_2 = A\,\mathrm{sen}\,(\omega t-kx)</math></center>
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Ambas representan señales viajando hacia la izquierda, con la misma frecuencia, por lo que su suma será otra onda viajera, cuya amplitu dependerá del desfase.  
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Ambas representan señales viajando hacia la izquierda, con la misma frecuencia, por lo que su suma será otra onda viajera, cuya amplitud dependerá del desfase.  
Para sumarlas de forma sencilla las escribimos ambas como cosenos. Aplicando la relación trigonométrica
Para sumarlas de forma sencilla las escribimos ambas como cosenos. Aplicando la relación trigonométrica
Línea 36: Línea 36:
Veamos cómo sería este apartado con ayuda del cálculo fasorial. La primera onda la podemos escribir
Veamos cómo sería este apartado con ayuda del cálculo fasorial. La primera onda la podemos escribir
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<center><math>y_1=A \cos(\omega t - kx) = \mathrm{Re}\left(A\mathrm{e}^{\mathrm{j}(\omega t-kx}\right)=\mathrm{Re}\left(A\mathrm{e}^{-\mathrm{j}kx}\mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega t}\right)</math>{{tose}}<math>\tilde{y}_1 = A\mathrm{e}^{-\mathrm{j}kx}</math></center>
===Segundo caso===
===Segundo caso===

Revisión de 21:03 10 mar 2009

Contenido

1 Enunciado

Considere los casos de superposición siguientes

  1. y_1= A \cos(\omega t - kx)\qquad y_2 = A\,\mathrm{sen}\,(\omega t-kx)
  2. y_1= A \cos(\omega t - kx)\qquad y_2 = A \,\mathrm{sen}\,(\omega t+kx)
  3. y_1= A\cos(\omega t - kx)\qquad y_2 = -2A\,\mathrm{sen}\,(\omega t)\,\mathrm{sen}\,(k x)
  4. y_1= 4A\cos(\omega t - kx)\qquad y_2 = 3A\,\mathrm{sen}\,(\omega t-kx)\qquad y_3 = 5A\cos(\omega t + kx )

Para cada uno de los casos, determine la ecuación de la señal resultante, ¿es una onda viajera o una estacionaria?

2 Solución

2.1 Primer caso

Debemos sumar las señales

y_1= A \cos(\omega t - kx)\,        y_2 = A\,\mathrm{sen}\,(\omega t-kx)

Ambas representan señales viajando hacia la izquierda, con la misma frecuencia, por lo que su suma será otra onda viajera, cuya amplitud dependerá del desfase.

Para sumarlas de forma sencilla las escribimos ambas como cosenos. Aplicando la relación trigonométrica

\mathrm{sen}\left(\alpha\right)=\cos\left(\alpha-\frac{\pi}{2}\right)

las señales quedan como

y_1= A \cos(\omega t - kx)\,        y_2 = A\cos\left(\omega t-kx-\frac{\pi}{2}\right)

Aplicando ahora la relación

\cos(\alpha)+\cos(\beta)=2\cos\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)\cos\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)

la superposición es

y = y_1+y_2=2A\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)\cos\left(\omega t-kx-\frac{\pi}{4}\right)=\sqrt{2}A \cos\left(\omega t-kx-\frac{\pi}{4}\right)
Archivo:Seno+coseno.gif
Resulta una onda viajera, de amplitud \sqrt{2}A (aproximadamente vez y media de la amplitud de cada onda), y con un desfase inicial de π/4.

Veamos cómo sería este apartado con ayuda del cálculo fasorial. La primera onda la podemos escribir

y_1=A \cos(\omega t - kx) = \mathrm{Re}\left(A\mathrm{e}^{\mathrm{j}(\omega t-kx}\right)=\mathrm{Re}\left(A\mathrm{e}^{-\mathrm{j}kx}\mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega t}\right)   \Rightarrow   \tilde{y}_1 = A\mathrm{e}^{-\mathrm{j}kx}

2.2 Segundo caso

y_1= A \cos(\omega t - kx)\qquad y_2 = A \,\mathrm{sen}\,(\omega t+kx)

2.3 Tercer caso

y_1= A\cos(\omega t - kx)\qquad y_2 = -2A\,\mathrm{sen}\,(\omega t)\,\mathrm{sen}\,(k x)

2.4 Cuarto caso

y_1= 4A\cos(\omega t - kx)\qquad y_2 = 3A\,\mathrm{sen}\,(\omega t-kx)\qquad y_3 = 5A\cos(\omega t + kx )

Obtenido de "http://tesla.us.es/wiki/index.php/Superposici%C3%B3n_de_dos_y_tres_se%C3%B1ales"

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