Descomposición de un vector (G.I.C.)
De Laplace
(Diferencias entre revisiones)
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= Solución = | = Solución = | ||
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Hay que expresar el vector <math>\vec{A}</math> como | Hay que expresar el vector <math>\vec{A}</math> como | ||
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Debemos hallar un vector unitario <math>\vec{u}_{\perp}</math> que sea perpendicular a <math>\vec{u}</math> y que esté en el plano definido por <math>\vec{A}</math> y <math>\vec{u}</math>. El vector | Debemos hallar un vector unitario <math>\vec{u}_{\perp}</math> que sea perpendicular a <math>\vec{u}</math> y que esté en el plano definido por <math>\vec{A}</math> y <math>\vec{u}</math>. El vector | ||
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\vec{v} = \dfrac{\vec{A}\times\vec{u}}{|\vec{A}\times\vec{u}|} | \vec{v} = \dfrac{\vec{A}\times\vec{u}}{|\vec{A}\times\vec{u}|} | ||
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| + | es unitario y perpendicular al plano definido por <math>\vec{A}</math> y <math>\vec{u}</math>. Entonces | ||
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| + | <math> | ||
| + | \vec{u}_{\perp} = \vec{u}\times\vec{v}. | ||
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| + | </center> | ||
| + | Entonces | ||
| + | <center> | ||
| + | <math> | ||
| + | \vec{A}_{\perp} = |\vec{A}\times\vec{u}|\,\vec{u}_{\perp} | ||
| + | = | ||
| + | |\vec{A}\times\vec{u}|\,\vec{u}\times\vec{v} | ||
| + | = | ||
| + | |\vec{A}\times\vec{u}|\,\vec{u}\times\dfrac{\vec{A}\times\vec{u}}{|\vec{A}\times\vec{u}|} | ||
| + | = | ||
| + | \vec{u}\times(\vec{A}\times\vec{u}) | ||
| + | </math> | ||
| + | </center> | ||
| + | Es decir | ||
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| + | <math> | ||
| + | \vec{A} = (\vec{A}\cdot\vec{u})\,\vec{u} + | ||
| + | \vec{u}\times(\vec{A}\times\vec{u}). | ||
| + | </math> | ||
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| + | El primer vector es paralelo a <math>\vec{u}</math> y el segundo perpendicular. | ||
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última version al 14:10 1 oct 2018
1 Enunciado
Dados un vector cualquiera 
y un vector unitario 
, expresa el vector como la suma de un vector paralelo a y otro perpendicular a .
2 Solución
Hay que expresar el vector como
donde 
y 
, siendo 
.
Para encontrar 
usamos que el producto escalar de por es la proyección de sobre . Para obtener el vector basta con multiplicar esta proyección por
El módulo de 
se obtiene con el producto vectorial
Debemos hallar un vector unitario 
que sea perpendicular a y que esté en el plano definido por y . El vector
es unitario y perpendicular al plano definido por y . Entonces
Entonces
Es decir
El primer vector es paralelo a y el segundo perpendicular.
