Error en el péndulo
De Laplace
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<center><math>\frac{\mathrm{d}^2\theta}{\mathrm{d}t^2}\simeq-\frac{g}{l}\theta=-\omega^2\theta</math></center> | <center><math>\frac{\mathrm{d}^2\theta}{\mathrm{d}t^2}\simeq-\frac{g}{l}\theta=-\omega^2\theta</math></center> | ||
| + | Cuando parte del reposo, desde una cierta separación <math>\theta_0</math>, el ángulo sigue una ley cosenoidal | ||
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| + | <div style="text-align: left; direction: ltr; margin-left: 1em;"><math>\theta = \theta_0\cos(\omega t)\,</math></div> | ||
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| + | La velocidad lineal de la lenteja del péndulo es | ||
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| + | <center><math>v = l\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t} = -l\omega\theta_0\,\mathrm{sen}(\omega t)</math></center> | ||
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| + | El valor máximo (en módulo) de esta velocidad lo alcanza en el momento en que se encuentra en el punto más bajo | ||
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| + | <center><math>v_\mathrm{max}(\mathrm{aprox.})=l\omega\theta_0</math></center> | ||
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| + | Por otro lado, esta misma velocidad puede calcularse exactamente, empleando la ley de conservación de la energía mecánica. | ||
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Revisión de 19:15 7 feb 2009
1 Enunciado
Halle el error relativo cometido al calcular la velocidad para un péndulo en su punto más bajo empleando la aproximación de oscilador armónico, si se suelta en reposo desde un ángulo respecto a la vertical de (a) 1° (b) 10° (c) 30° (d) 60° (e) 90°.
2 Solución
Un péndulo obedece la ecuación de movimiento
siendo θ la inclinación respecto a la vertical (medida en radianes). Cuando esta separación es pequeña, se puede usar la aproximación
lo que reduce la ecuación del péndulo a la de un oscilador armónico
Cuando parte del reposo, desde una cierta separación θ0, el ángulo sigue una ley cosenoidal
La velocidad lineal de la lenteja del péndulo es
El valor máximo (en módulo) de esta velocidad lo alcanza en el momento en que se encuentra en el punto más bajo
Por otro lado, esta misma velocidad puede calcularse exactamente, empleando la ley de conservación de la energía mecánica.
