Principio de D'Alembert (CMR)
De Laplace
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La formulación analítica de la dinámica es un planteamiento alternativo de las leyes de la mecánica empleando esencialmente cantidades relacionadas con la energía. | La formulación analítica de la dinámica es un planteamiento alternativo de las leyes de la mecánica empleando esencialmente cantidades relacionadas con la energía. | ||
| + | ===Notación=== | ||
La Mecánica analítica trata principalmente con cantidades escalares. Por ello, aparecerán en las ecuaciones que siguen no tanto los vectores de posición de las partículas como sus coordenadas. Por ello, emplearemos la notación <math>x_i</math> para denotar cualquier coordenada cartesiana de las partículas del sistema. Si el sistema tiene una sola partícula, el indice i llegará hasta 3, si son dos hasta 6, etc. Para cada coordenada cartesiana se cumplirá la segunda ley de Newton | La Mecánica analítica trata principalmente con cantidades escalares. Por ello, aparecerán en las ecuaciones que siguen no tanto los vectores de posición de las partículas como sus coordenadas. Por ello, emplearemos la notación <math>x_i</math> para denotar cualquier coordenada cartesiana de las partículas del sistema. Si el sistema tiene una sola partícula, el indice i llegará hasta 3, si son dos hasta 6, etc. Para cada coordenada cartesiana se cumplirá la segunda ley de Newton | ||
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donde <math>m_1 = m_2 = m_3</math> ya que se trata de las coordenadas de la misma partícula, pero eso no afecta a la validez de la expresión, y podemos hablar de la partícula i de manera individual. | donde <math>m_1 = m_2 = m_3</math> ya que se trata de las coordenadas de la misma partícula, pero eso no afecta a la validez de la expresión, y podemos hablar de la partícula i de manera individual. | ||
| - | Aquí <math>F_i</math> sería la componente de la fuerza sobre la partícula i según la dirección de la coordenada <math>x_i</math>. | + | Aquí <math>F_i</math> sería la componente de la fuerza sobre la partícula i según la dirección de la coordenada <math>x_i</math>. |
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| + | ===Fuerzas=== | ||
| + | La fuerza sobre cada partícula será suma de las fuerzas aplicadas <math>\vec{F}_a</math> sobre la partícula y de las posibles fuerzas de reacción vincular, <math>\vec{F}_n</math> (donde usamos “n” por analogía con la fuerza normal de una superficie, pero como veremos no son necesariamente ortogonales) | ||
<center><math>m_i\ddot{x}_i=F^a_i+F^n_i</math></center> | <center><math>m_i\ddot{x}_i=F^a_i+F^n_i</math></center> | ||
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<center><math>m_i\ddot{x}_i=F_i(x_k,\dot{x}_k,t)\qquad\qquad k=1,2,\ldots 3N</math></center> | <center><math>m_i\ddot{x}_i=F_i(x_k,\dot{x}_k,t)\qquad\qquad k=1,2,\ldots 3N</math></center> | ||
| + | ===Vínculo=== | ||
Como sabemos, si existen r mvínculos, estas ecuaciones no son suficientes para determinar la evolución del sistema, ya que las fuerzas de reacción vincular son desconocidas a priori. Para completar el sistema se precisan las ecuaciones de los vínculos. Suponiendo solo vínculos bilaterales, tenemos los vínculos geométricos | Como sabemos, si existen r mvínculos, estas ecuaciones no son suficientes para determinar la evolución del sistema, ya que las fuerzas de reacción vincular son desconocidas a priori. Para completar el sistema se precisan las ecuaciones de los vínculos. Suponiendo solo vínculos bilaterales, tenemos los vínculos geométricos | ||
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<center><math>\sum_i A_{ji}\,\mathrm{d}x_i+A_{j0}\,\mathrm{d}t = 0\qquad\qquad j = 1,\ldots,r</math></center> | <center><math>\sum_i A_{ji}\,\mathrm{d}x_i+A_{j0}\,\mathrm{d}t = 0\qquad\qquad j = 1,\ldots,r</math></center> | ||
| + | ===Trabajo diferencial=== | ||
| + | Cuando una partícula sometida a una fuerza <math>\vec{F}</math> realiza un desplazamiento diferencial <math>\mathrm{d}\vec{r}</math>, el trabajo diferencial realizado por la fuerza se define como | ||
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| + | <center><math>\mathrm{d}W=\vec{F}\cdot\mathrm{d}\vec{r}=F_x\mathrm{d}x+F_y\mathrm{d}y+F_z\mathrm{d}z =\sum_{i=1}^3 F_i\,\mathrm{d}x_i</math></center> | ||
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| + | Más en general, si tenemos un sistema sometido a diferentes fuerzas, el trabajo diferencial total será la suma de todos los trabajos individuales: | ||
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| + | <center><math>\mathrm{d}W=\sum_i F_i\,\mathrm{d}x_i</math></center> | ||
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| + | Si conocemos las fuerzas podemos hallar el trabajo, pero ¿qué ocurre cuando las fuerzas son desconocidas (como ocurre con las de reacción vincular), ¿a partir del trabajo podemos determinar las fuerzas? ¿Y el movimiento de la partícula? Veremos que, en un amplio abanico de casos sí es posible, al menos teóricamente. | ||
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| + | La clave está en analizar cuándo es nulo ese trabajo. Si tenemos una única fuerza, de manera que el sumatorio se reduce a un término | ||
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==Desplazamientos reales y virtuales== | ==Desplazamientos reales y virtuales== | ||
==Vínculos ideales== | ==Vínculos ideales== | ||
Revisión de 12:46 6 ene 2016
Contenido |
1 Introducción
La formulación analítica de la dinámica es un planteamiento alternativo de las leyes de la mecánica empleando esencialmente cantidades relacionadas con la energía.
1.1 Notación
La Mecánica analítica trata principalmente con cantidades escalares. Por ello, aparecerán en las ecuaciones que siguen no tanto los vectores de posición de las partículas como sus coordenadas. Por ello, emplearemos la notación xi para denotar cualquier coordenada cartesiana de las partículas del sistema. Si el sistema tiene una sola partícula, el indice i llegará hasta 3, si son dos hasta 6, etc. Para cada coordenada cartesiana se cumplirá la segunda ley de Newton
donde m1 = m2 = m3 ya que se trata de las coordenadas de la misma partícula, pero eso no afecta a la validez de la expresión, y podemos hablar de la partícula i de manera individual.
Aquí Fi sería la componente de la fuerza sobre la partícula i según la dirección de la coordenada xi.
1.2 Fuerzas
La fuerza sobre cada partícula será suma de las fuerzas aplicadas 
sobre la partícula y de las posibles fuerzas de reacción vincular, 
(donde usamos “n” por analogía con la fuerza normal de una superficie, pero como veremos no son necesariamente ortogonales)
Tanto las fuerzas aplicadas como las de reacción pueden ser tanto externas (como el peso o la reacción de una superficie rígida exterior al sistema) como internas (como las fuerzas eléctricas o la tensión de una varilla ideal que une dos partículas). A su vez, tanto unas como otras podrán ser funciones de las posiciones de las demás partículas, de sus velocidades y del tiempo.
1.3 Vínculo
Como sabemos, si existen r mvínculos, estas ecuaciones no son suficientes para determinar la evolución del sistema, ya que las fuerzas de reacción vincular son desconocidas a priori. Para completar el sistema se precisan las ecuaciones de los vínculos. Suponiendo solo vínculos bilaterales, tenemos los vínculos geométricos
y los vínculos cinemáticos, de los que solo consideraremos los que son lineales en las velocidades
donde los coeficientes Aji son funciones de las coordenadas y el tiempo
Los vínculos geométricos también conducen a vínculos cinemáticos derivando respecto al tiempo. En ese caso
Alternativamente, tenemos la forma pfaffiana de la ligadura, que relaciona los desplazamientos diferenciales
1.4 Trabajo diferencial
Cuando una partícula sometida a una fuerza 
realiza un desplazamiento diferencial 
, el trabajo diferencial realizado por la fuerza se define como
Más en general, si tenemos un sistema sometido a diferentes fuerzas, el trabajo diferencial total será la suma de todos los trabajos individuales:
Si conocemos las fuerzas podemos hallar el trabajo, pero ¿qué ocurre cuando las fuerzas son desconocidas (como ocurre con las de reacción vincular), ¿a partir del trabajo podemos determinar las fuerzas? ¿Y el movimiento de la partícula? Veremos que, en un amplio abanico de casos sí es posible, al menos teóricamente.
La clave está en analizar cuándo es nulo ese trabajo. Si tenemos una única fuerza, de manera que el sumatorio se reduce a un término
mathrm
