Teoremas del seno y del coseno (GIE)

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)

Revisión de 10:40 1 oct 2015

1 Enunciado

Con ayuda de productos escalares y vectoriales demuestre los teoremas del coseno

$c^2 = a^2 + b^2 -2ab\,\mathrm{cos}(C)$

y del seno

$\frac{\mathrm{sen}\,A}{a}=\frac{\mathrm{sen}\,B}{b}=\frac{\mathrm{sen}\,C}{c}$

en un triángulo de lados $a$ , $b$ y $c$ , y ángulos opuestos $A$ , $B$ y $C$ .

2 Teorema del coseno

Si consideramos los lados del triángulo como segmentos orientados,

$\vec{a}=\overrightarrow{BC}\qquad\qquad \vec{b}=\overrightarrow{CA}\qquad\qquad \vec{c}=\overrightarrow{BA}$

se verifica la ecuación vectorial

$\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}\qquad\Rightarrow\qquad \vec{c}= \vec{a} + \vec{b}$

Si multiplicamos esta ecuación escalarmente por sí misma

$(\vec{a}+\vec{b})\cdot(\vec{a}+\vec{b}) = \vec{c}\cdot\vec{c}=c^2$

Desarrollando el producto escalar

$\vec{a}\cdot\vec{a}+2\vec{a}\cdot\vec{b}+\vec{b}\cdot\vec{b}=a^2+2ab\cos(\gamma)+b^2=c^2$

El ángulo $γ$ que forman los vectores $\vec{a}$ y $\vec{b}$ no es igual a C, ya que para poder medir el ángulo que forman dos vectores deben tener un origen común. Trasladando el vector $\vec{a}$ vemos que

$\gamma=\pi-C\,$

por lo que finalmente obtenemos

$a^2 -2ab\,\cos(C) + b^2 = c^2$

que es el teorema del coseno.

Expresiones análogas pueden obtenerse para los otros dos ángulos.

En el caso particular de un triángulo rectángulo, el coseno se anula y el teorema se reduce al de Pitágoras

No se pudo entender (Falta el ejecutable de <strong>texvc</strong>. Por favor, lea <em>math/README</em> para configurarlo.): \left(C=\frac{\pi/2}\right)\qquad\Rightarrow\qquad c^2=a^2+b^2

3 Teorema del seno

El área de un triángulo es la mitad del área de un paralelogramo y por tanto

$A = \frac{1}{2}\left|\vec{a}\times\vec{b}\right| = \frac{1}{2}\left|\vec{b}\times\vec{c}\right| = \frac{1}{2}\left|\vec{a}\times\vec{c}\right|$

Desarrollando los módulos de los productos vectoriales

$A = \frac{ab\,\mathrm{sen}\,\gamma}{2}=\frac{bc\,\mathrm{sen}\,\alpha}{2}=\frac{ac\,\mathrm{sen}\,\beta}{2}$

Dividiendo por el producto $a b c$ y multiplicando por 2 nos queda

$\frac{\mathrm{sen}\,\gamma}{c}=\frac{\mathrm{sen}\,\alpha}{a}=\frac{\mathrm{sen}\,\beta}{b}$

que es el teorema del seno.

@@ Línea 15: / Línea 15: @@
 [[Archivo:Ejemplo-triangulo-02.png|right]]
-Si consideramos los lados del triángulo como segmentos orientados, se verifica la ecuación vectorial
+Si consideramos los lados del triángulo como segmentos orientados,
-<center><math>\vec{a}= \vec{b} + \vec{c}</math></center>
+<center><math>\vec{a}=\overrightarrow{BC}\qquad\qquad \vec{b}=\overrightarrow{CA}\qquad\qquad \vec{c}=\overrightarrow{BA}</math></center>
-o, equivalentemente
+<center>[[Archivo:triangulo-generico-02.png]]</center>
-<center><math>\vec{a}- \vec{b} = \vec{c}</math></center>
+se verifica la ecuación vectorial
+<center><math>\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}\qquad\Rightarrow\qquad \vec{c}= \vec{a} + \vec{b}</math></center>
 Si multiplicamos esta ecuación escalarmente por sí misma
-<center><math>(\vec{a}-\vec{b})\cdot(\vec{a}-\vec{b}) = \vec{c}\cdot\vec{c}=c^2</math></center>
+<center><math>(\vec{a}+\vec{b})\cdot(\vec{a}+\vec{b}) = \vec{c}\cdot\vec{c}=c^2</math></center>
 Desarrollando el producto escalar
-<center><math>\vec{a}\cdot\vec{a}-2\vec{a}\cdot\vec{b}+\vec{b}\cdot\vec{b}=c^2</math></center>
+<center><math>\vec{a}\cdot\vec{a}+2\vec{a}\cdot\vec{b}+\vec{b}\cdot\vec{b}=a^2+2ab\cos(\gamma)+b^2=c^2</math></center>
-El ángulo que forman los vectores <math>\vec{a}</math> y <math>\vec{b}</math> es <math>\gamma</math> por lo que finalmente obtenemos
+El ángulo <math>\gamma</math> que forman los vectores <math>\vec{a}</math> y<math>\vec{b}</math> no es igual a C, ya que para poder medir el ángulo que forman dos vectores deben tener un origen común. Trasladando el vector <math>\vec{a}</math> vemos que
-<center><math>a^2 -2ab\,\cos\gamma + b^2 = c^2</math></center>
+<center><math>\gamma=\pi-C\,</math></center>
+<center>[[Archivo:triangulo-generico-03.png]]</center>
+por lo que finalmente obtenemos
+<center><math>a^2 -2ab\,\cos(C) + b^2 = c^2</math></center>
 que es el teorema del coseno.
 Expresiones análogas pueden obtenerse para los otros dos ángulos.
+En el caso particular de un triángulo rectángulo, el coseno se anula y el teorema se reduce al de Pitágoras
+<center><math>\left(C=\frac{\pi/2}\right)\qquad\Rightarrow\qquad c^2=a^2+b^2</math></center>
+<center>[[Archivo:triangulo-generico-04.png]]</center>
 ==Teorema del seno==

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