Condensador esférico
De Laplace
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==Solución== | ==Solución== | ||
| + | ===Caso general=== | ||
Suponemos la superficie interior a potencial <math>V_0</math> y la exterior a tierra. | Suponemos la superficie interior a potencial <math>V_0</math> y la exterior a tierra. | ||
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<center><math>Q_1 = \varepsilon_0 \oint \mathbf{E}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S} = \varepsilon_0 \int \frac{V_0ab}{(b-a)r^2}r^2\,\mathrm{d}\Omega = \frac{4\pi\varepsilon_0V_0ab}{(b-a)}</math></center> | <center><math>Q_1 = \varepsilon_0 \oint \mathbf{E}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S} = \varepsilon_0 \int \frac{V_0ab}{(b-a)r^2}r^2\,\mathrm{d}\Omega = \frac{4\pi\varepsilon_0V_0ab}{(b-a)}</math></center> | ||
| + | ya que para una superficie esférica <math>\mathrm{d}\mathbf{S} = r^2\,\mathrm{d}\Omega\,\mathbf{u}_r</math> y el ángulo sólido total <math>\Omega = 4\pi</math>. | ||
| + | La capacidad del condensador esférico la obtenemos como el cociente entre la carga y la diferencia de potencial | ||
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| + | <center><math>C = \frac{Q_1}{V_1-V_2} = \frac{Q_1}{V_0}=\frac{4\pi\varepsilon_0ab}{b-a}</math></center> | ||
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| + | ===El límite de radio exterior infinito=== | ||
| + | ===El caso de dos radios muy próximos=== | ||
| + | ===Un ejemplo: la superficie terrestre y la ionosfera=== | ||
[[Categoría:Problemas de campo eléctrico en presencia de conductores]] | [[Categoría:Problemas de campo eléctrico en presencia de conductores]] | ||
Revisión de 12:32 17 dic 2008
Contenido |
1 Enunciado
Halle la capacidad de un condensador formado por dos superficies esféricas concéntricas, de radios a y b (a < b).
2 Solución
2.1 Caso general
Suponemos la superficie interior a potencial V0 y la exterior a tierra.
En el hueco entre las dos superficies esféricas no hay carga intermedia, por lo que se verifica la ecuación de Laplace
con las condiciones de contorno
Por la simetría del sistema, podemos suponer que el potencial depende exclusivamente de la coordenada radial r. En este caso, la solución de la ecuación de Laplace es de la forma
Quedan por determinar las constantes A y B. Sustituyendo las condiciones de contorno
resultan las constantes y el potencial
y sustituyendo las constantes en la expresión del potencial
La carga en la esfera a mayor potencial (la interior) la calculamos por aplicación de la ley de Gauss. Si tomamos una superficie esférica de radio r concéntrica con la esfera interior
ya que para una superficie esférica 
y el ángulo sólido total Ω = 4π.
La capacidad del condensador esférico la obtenemos como el cociente entre la carga y la diferencia de potencial
