Rodadura y pivotamiento de una esfera
De Laplace
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<center><math>\overrightarrow{OE}=\lambda\omega\qquad\Rightarrow\qquad \left\{\begin{array}{rcl} x & = & 1.92\lambda \\ y & = & 1.44\lambda \\ z & = & 1.80\lambda\end{array}\right.</math></center> | <center><math>\overrightarrow{OE}=\lambda\omega\qquad\Rightarrow\qquad \left\{\begin{array}{rcl} x & = & 1.92\lambda \\ y & = & 1.44\lambda \\ z & = & 1.80\lambda\end{array}\right.</math></center> | ||
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==Velocidad y rapidez del CM== | ==Velocidad y rapidez del CM== | ||
| + | La velocidad del centro de la esfera la hallamos por el campo de velocidades de un sólido | ||
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| + | <center><math>\vec{v}_C=\overbrace{\vec{v}_O}^{=\vec{0}}+\vec{\omega}\times\overrightarrow{OC}=\left|\begin{matrix} \vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ 1.92 & 1.44 & 1.80 \\ 0 & 0 & 2.5\end{matrix}\right|\frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{s}}=\left(3.6\vec{\imath}-4.8\vec{\jmath}\right)\frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{s}}</math></center> | ||
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| + | siendo la rapidez el módulo de esta velocidad | ||
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| + | <center><math>|\vec{v}_C|=\sqrt{3.6^2+4.8^2}\frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{s}}=6.0\,\frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{s}}</math></center> | ||
==Distancia al eje== | ==Distancia al eje== | ||
==Cantidad de movimiento, Momento cinético y energía cinética== | ==Cantidad de movimiento, Momento cinético y energía cinética== | ||
Revisión de 11:07 14 sep 2014
Contenido |
1 Enunciado
Una esfera maciza de 2.5 cm de radio y 0.400 kg de masa rueda y pivota sin deslizar sobre una superficie horizontal. En un instante dado la velocidad angular de pivotamiento es de 1.80 rad/s en sentido antihorario respecto al eje OZ (tomando como origen el punto de contacto y como eje OZ el perpendicular al plano), mientras que la de rodadura es de 2.40 rad/s en la dirección del vector unitario
Para este instante, calcule:
- El vector velocidad angular y la ecuación del eje instantáneo de rotación.
- La velocidad y la rapidez del centro de la esfera.
- La distancia del centro de la esfera al eje instantáneo de rotación.
- La cantidad de movimiento, el momento cinético y la energía cinética de la esfera.
Dato: Momento de inercia de una esfera respecto a un eje que pasa por su centro I = (2 / 5)MR2.
2 Velocidad angular y eje
2.1 Velocidad angular
La velocidad angular de pivotamiento corresponde a un giro alrededor del eje OZ. Por ser en sentido antihorario, su sentido es el de 
La de rodadura es en la dirección y sentido que se nos indica
La velocidad angular del sólido es la suma de las dos
2.2 Eje instantáneo de rotación
El EIR es la recta formada por los puntos que tienen velocidad nula. Tiene la dirección de la velocidad angular.
Para hallar un punto por el que pase buscamos uno de velocidad nula. Puesto que se nos dice que rueda y pivota sin deslizar, el propio punto de contacto O es un punto del eje. Por tanto la ecuación de éste es simplemente
3 Velocidad y rapidez del CM
La velocidad del centro de la esfera la hallamos por el campo de velocidades de un sólido
siendo la rapidez el módulo de esta velocidad
