Dos esferas conductoras concéntricas

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)

Revisión de 11:34 20 abr 2014

Contenido

1 Enunciado
2 Introducción
3 Caso general
4 Análisis de los diferentes casos

1 Enunciado

Se construye un sistema de dos conductores metálicos. El “1” es una esfera maciza de radio 6 mm. El “2” es una fina corona esférica, concéntrica con la anterior, de radio 9 mm. Halle la carga almacenada y el potencial al que se encuentra cada conductor, así como la energía almacenada en el sistema, para los siguientes casos:

La esfera almacena una carga de +2 nC y la corona está aislada y descargada
La esfera está aislada y descargada y la corona almacena +3 nC
La esfera almacena una carga de +2 nC y la corona de +3 nC
La esfera almacena una carga de −2 nC y la corona de +2 nC
La esfera almacena una carga de −2 nC y la corona de +3 nC
La esfera almacena una carga de +2 nC y la corona está a tierra
La esfera está a tierra y la corona almacena una carga de +3 nC
La esfera está a +2 kV y la corona está a tierra.
La esfera está a tierra y la corona a +2 kV.
La esfera y la corona están a +2 kV
La esfera está a +2 kV y la corona está a −2 kV.

Sugerencia: Resuélvase primero el caso general, estableciendo relaciones entre las cargas y los potenciales, y expresiones para la energía. Puede ser útil construir un circuito equivalente.

2 Introducción

Aunque este problema consta de muchos apartados, es fácil ver que todos son muy parecidos, sólo cambia el dato que se da y el valor de cada uno.

Éste es un caso particular de problema del potencial. Tenemos un sistema de conductores (dos, en este caso), que se encuentran en equilibrio electrostático. De cada conductor, sabemos que su potencial es el mismo en todos sus puntos, pero no necesariamente cuanto vale éste.

Para cada conductor hay que dar o bien su voltaje o bien su carga total (pero no como está distribuida ésta), nunca las dos cosas a la vez. Eso sería redundante o contradictorio. A partir de esta información se puede determinar las cargas o potenciales que se desconocen, resolviendo el problema del potencial.

En el caso de un sistema de dos conductores, el resultado es una relación lineal entre las cargas y los potenciales

$Q_1 = C_{11}V_1+C_{12}V_2\qquad\qquad Q_2 = C_{21}V_1+C_{22}V_2$

Estos problemas se simplifican mucho mediante la construcción de circuitos equivalentes, donde cada par de superficies conductoras en influencia total se modela como un conductor.

3 Caso general

En este caso concreto, todas las superficies conductoras son esferas concéntricas. Dado que todas ellas son equipotenciales debemos preguntarnos qué distribución de carga produce un potencial uniforme sobre una esfera. La respuesta es sencilla: por la simetría del sistema, lo que tenemos son distribuciones de carga uniformes sobre cada superficie. Esto no sería cierto si tuviéramos esferas descentradas, por ejemplo.

Si las superficies esféricas están cargadas uniformemente, el problema es muy sencillo y ya ha sido resuelto en el tema de electrostática en el vacío. El potencial creado por una superficie cargada uniformemente es, para cualquier punto del espacio

$V(r)=\begin{cases} \displaystyle\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 a} & r< a \\ & \\ \displaystyle\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r} & r > a\end{cases}$

En este caso tenemos dos superficies cargadas. Una de radio $a$ con una carga $Q 1$ (diferente en cada caso) y una de radio $b$ con una carga $Q 2$ . Realmente tenemos tres, ya que la corteza exterior tiene dos caras, sin embargo, al ser muy fina, podemos considerar las dos caras como una sola superficie con carga total la suma de las dos caras.

3.1 Potenciales en función de las cargas

Aplicando el resultado anterior tenemos, para el potencial de la esfera maciza

$V_1 = \frac{Q_1}{4\pi\varepsilon_0a}+\frac{Q_2}{4\pi\varepsilon_0 b}$

y para la corona exterior

$V_2 = \frac{Q_1}{4\pi\varepsilon_0b}+\frac{Q_2}{4\pi\varepsilon_0 b}$

Numéricamente, en el SI

$V_1 = 1.5\times 10^{12}Q_1+1.0\times 10^{12}Q_2\qquad\qquad V_1 = 1.0\times 10^{12}(Q_1+Q_2)\qquad\qquad (Q\ \mbox{en C}, V\ \mbox{en V})$

Si medimos la carga en nanoculombios y el voltaje en kilovoltios (como aparece en todos los apartados del enunciado) se simplifican los exponentes

$V_1 = 1.5 Q_1+Q_2\qquad\qquad V_1 = Q_1+Q_2\qquad\qquad (Q\ \mbox{en nC}, V\ \mbox{en kV})$

Estas relaciones pueden escribirse en forma matricial como

$\begin{pmatrix}V_1 \\ V_2\end{pmatrix}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0 ab}\begin{pmatrix} b & a \\ a & a \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}Q_1 \\ Q_2\end{pmatrix}$

Numéricamente, en las unidades indicadas

$\begin{pmatrix}V_1 \\ V_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1.5 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}Q_1 \\ Q_2\end{pmatrix}$

3.2 Cargas en función de los potenciales

A partir de los resultados anteriores, podemos despejar las cargas de los dos conductores en función de ambos potenciales. El resultado es

$Q_1=\frac{4\pi\varepsilon_0 ab (V_1-V_2)}{b-a}\qquad\qquad Q_2=\frac{4\pi\varepsilon_0 b(bV_2-aV_1)}{b-a}$

con los valores numéricos

$Q_1=2V_1-2V_2\qquad \qquad Q_2 =-2V_1+3V_2\qquad\qquad (Q\ \mbox{en nC}, V\ \mbox{en kV})$

En forma matricial, el cálculo equivale a invertir la relación anterior

$\begin{pmatrix}Q_1 \\ Q_2\end{pmatrix}=\frac{4\pi\varepsilon_0b}{b-a} \begin{pmatrix} a & -a \\ -a & b \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}V_1 \\ V_2\end{pmatrix}$

con valor numérico

$\begin{pmatrix}Q_1 \\ Q_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 & -2 \\ -2 & 3 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}V_1 \\ V_2\end{pmatrix}$

3.3 Circuito equivalente

Los sistemas de conductores se pueden analizar de forma alternativa mediante la construcción de un circuito equivalente de condensadores. Cada condensador representa aquellas superficies de los conductores que se encuentran en influencia total.

En este caso, tenemos dos nodos, uno por cada conductor. El circuito consta de dos condensadores. Uno representa a la superficie de la esfera maciza y a la cara interior de la corteza. Este condensador conecta los dos nodos. El valor de su capacidad es

$C_A=\frac{4\pi\varepsilon_0 ab}{b-a}=2\,\mathrm{pF}$

El otro representa aquellas líneas de campo que van de la superficie exterior de la corteza hacia el infinito. Su capacidad es igual a la de un conductor esférico

$C_B = 4\pi\varepsilon_0b = 1\,\mathrm{pF}$

La carga de cada conductor es la suma de las cargas almacenadas en los condensadores unidos a los nodos correspondientes. Para el conductor 1, solo está el primer condensador

$Q_1 = C_A(V_1-V_2) = 2V_1-2V_2\qquad\qquad (Q\ \mbox{en nC}, V\ \mbox{en kV})$

Para el conductor 2 tenemos dos condensadores unidos al nodo. Uno con d.d.p. entre placas $V 2 - V 1$ y otro con d.d.p. $V 2 - 0$ (ya que el infinito está a tierra). Por tanto

$Q_2=C_A(V_2-V_1) + C_B V_2 = 2(V_2-V_1)+V_2=3V_2-2V_1\qquad\qquad (Q\ \mbox{en nC}, V\ \mbox{en kV})$

3.4 Energía electrostática

Una vez que se conoce la relación entre cargas y potenciales en el sistema, puede calcularse la energía electrostática que almacena, según la fórmula

$U_\mathrm{e}=\frac{1}{2}Q_1V_1+\frac{1}{2}Q_2V_2$

que se puede escribir como el producto de dos matrices

$U_\mathrm{e}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}Q_1 & Q_2\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}V_1 \\ V_2\end{pmatrix}$

Si sustituimos aquí los potenciales en función de las cargas

$U_\mathrm{e}=\frac{1}{2}Q_1\left(\frac{Q_1}{4\pi\varepsilon_0 a}+\frac{Q_2}{4\pi\varepsilon_0 b}\right)+\frac{1}{2}Q_2\left(\frac{Q_1}{4\pi\varepsilon_0 b}+\frac{Q_2}{4\pi\varepsilon_0 b}\right)$

y agrupamos términos

$U_\mathrm{e}=\frac{b Q_1^2 + 2aQ_1Q_2+a Q_2^2}{8\pi\varepsilon_0 a b}$

Numéricamente, usando como antes kilovoltios y nanoculombios para potenciales y cargas y dando el resultado en microjulios

$U_\mathrm{e}=\frac{Q_1(1.5Q_1+Q_2)+Q_2(Q_1+Q_2)}{2}=0.75Q_1^2 + Q_1Q_2+0.5Q_2^2\qquad\qquad (U_e\ \mathrm{en\ }\mu\mathrm{J})$

Matricialmente, este cálculo lo da la expresión

$U_\mathrm{e}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}Q_1 & Q_2\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 1.5 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}Q_1 \\ Q_2\end{pmatrix}$

Alternativamente, podemos sustituir las cargas en función de los potenciales

$U_\mathrm{e}=\frac{1}{2}\left(\frac{4\pi\varepsilon_0 ab(V_1-V_2)}{b-a}\right)V_1+\frac{1}{2}\left(\frac{4\pi\varepsilon_0 b(bV_1-aV_2)}{b-a}\right)V_2=\frac{2\pi\varepsilon_0b(a V_1^2 - 2aV_1V_2 + b V_2^2)}{b-a}$

Numéricamente, empleando las mismas unidades que antes,

$U_\mathrm{e}=\frac{(2V_1-2V_2)V_1+(-2V_1+3V_2)V_2}{2}=V_1^2-2V_1V_2+1.5V_2^2$

y, en forma matricial

$U_\mathrm{e}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}V_1 & V_2\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 2 & -2 \\ -2 & 3 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}V_1 \\ V_2\end{pmatrix}$

4 Análisis de los diferentes casos

Armados con todas estas herramientas, ahora el cálculo se reduce a la sustitución en las diferentes ecuaciones. Sin embargo, la mayoría de las situaciones propuestas propiedades específicas o pueden ser objeto de confusión, por lo que conviene analizar los resultados.

4.1 Primer caso

En la primera situación, la corteza está aislada y descargada. Esto quiere decir que

$Q_2=0\,$

(no que su potencial es cero). También conocemos la carga de la esfera

$Q_1 = 2\,\mathrm{nC}$

Sustituyendo obtenemos los potenciales, en kilovoltios

$V_1= 1.5\times 2+1.0times 0 =3.0\,\mathrm{kV}\qquad\qquad V_2=1.0\times 2+1.0\times 0=2.0\,\mathrm{kV}$

siendo la energía almacenada, en microjulios

$U_\mathrm{e}=\frac{1}{2}(2\times 3 + 0 \times 2) = 3\,\mu\mathrm{J}$

Estos resultados sonlos mismos que tendríamos si solo estuviera la esfera interior. En este caso la corteza no desempeña ningún papel en el campo eléctrico.

Empleando el circuito equivalente, al estar el conductor 2 aislado y descargado, el sistema se reduce a dos condensadores en serie, siendo la capacidad equivalente

$C_\mathrm{eq}=\frac{C_AC_B}{C_A+C_B}=\frac{2\times 1}{2+1}\,\mathrm{pF}=\frac{2}{3}\,\mathrm{pF}$

lo que da el voltaje para el conductor 1

$V_1 = \frac{Q_1}{C_\mathrm{eq}}=\frac{2\,\mathrm{nC}}{(2/3)\,\mathrm{pF}}=3\,\mathrm{kV}$

Para el conductor 2 hay que emplear que los condensadores están en serie y por tanto su carga es la misma, por lo que

$V_2 = \frac{Q_1}{C_B}=\frac{2\,\mathrm{nC}}{1\,\mathrm{pF}}=2\,\mathrm{kV}$

La energía almacenada, empleando el circuito, es

$U_\mathrm{e}=\frac{Q_1^2}{2C_\mathrm{eq}}=\frac{4\,\mathrm{nC}^2}{2(2/3)\mathrm{pF}}=3\,\mu\mathrm{J}$

4.2 Segundo caso

En el segundo caso la esfera es la que está descargada, por lo que tenemos

$Q_1=0\,\mathrm{nC}\qquad\qquad Q_2=3\,\mathrm{nC}$

Sustituyendo ahora en la expresión de los potenciales

$V_1=1.5\times 0 + 3 = 3\,\mathrm{kV}\qquad\qquad V_2=0+3 = 3\,\mathrm{kV}$

Los dos conductores están al mismo potencial, ya que el único campo es el debido a la esfera exterior.

la energía almacenada es ahora

$U_e = \frac{1}{2}(0\times 3+3\times 3)=4.5\,\mathrm{mu}J$

En el circuito equivalente, el condensador $C A$ , al estar descargado, es como si no estuviera y el único fuera el $C B$

$V_1=V_2=\frac{Q_2}{C_B}=\frac{3\,\mathrm{nC}}{1\,\mathrm{pF}}=3\,\mathrm{kV}$

4.3 Tercer caso

Cuando mantenemos la esfera con la misma carga que en el apartado anterior, pero además está cargada la corteza, cambian los potenciales de ambos conductores. Tenemos, como dato, las dos cargas

$Q_1= 2\,\mathrm{nC}\qquad\qquad Q_2=3\,\mathrm{nC}$

Sustituyendo en la expresión para los potenciales queda

$V_1=1.5\times 2+1\times 3 = 6\,\mathrm{kV}\qquad\qquad V_2= 2+3=5\,\mathrm{kV}$

y en la de la energía

$U_e = \frac{1}{2}(2\times 6 + 3\times 5)=13.5\,\mu\mathrm{J}$

Comparando este resultado con los de los dos casos anteriores, vemos que en este la carga es la suma de las cargas de los dos casos anteriores, y como resultado, los potenciales también son la suma de esos dos casos. Sin embargo, la energía almacenada no es la suma de las de los dos casos individuales. Es decir, el potencial eléctrico sí cumple el principio de superposición, pero la energía electrostática no lo hace.

4.4 Cuarto caso

En el siguiente caso, tenemos las dos esferas cargas con cargas de la misma magnitud pero signo opuesto.

$Q_1= -2\,\mathrm{nC}\qquad\qquad Q_2=+2\,\mathrm{nC}$

En este caso, los voltajes son

$V_1=1.5\times (-2)+2= -1\,\mathrm{kV}\qquad V_2=-2+2 = 0\,\mathrm{kV}$

y la energía

No se pudo entender (Falta el ejecutable de <strong>texvc</strong>. Por favor, lea <em>math/README</em> para configurarlo.): U_\mathrm{e}=\frac{1}{2}\left((-2)\times (-1) + (+2)\times 0) = +1\,\mu\mathrm{J}

Desde el punto de vista del circuito, lo que ocurre en este caso es que, al estar el conductor 2 a tierra, el condensador B está descargado, por lo que toda la carga y la energía se almacenan en el A.

Nótese también que aunque la carga es negativa, la energía es positiva.

4.5 Quinto caso

En este caso tenemos también cargas opuestas, pero de distinta magnitud.

$Q_1= -2\,\mathrm{nC}\qquad\qquad Q_2=3\,\mathrm{nC}$

Sustituyendo en la expresión para los potenciales queda

$V_1=1.5\times(-2)+1\times 3 = 0\,\mathrm{kV}\qquad\qquad V_2= -2+3=1\,\mathrm{kV}$

y en la de la energía

$U_e = \frac{1}{2}((-2)\times 0 + 3\times 1)=1.5\,\mu\mathrm{J}$

En este caso, al estar la esfera interior a tierra, el circuito equivale a dos condensadores puestos en paralelo, siendo su capacidad equivalente

$C_\mathrm{eq}=(2+1)\,\mathrm{pF}=3\,\mathrm{pF}$

lo que da el potencial para la corteza

$V_2 = \frac{Q_2}{C_\mathrm{eq}}=\frac{3\,\mathrm{nC}}{3\,\mathrm{pF}}=1\,\mathrm{kV}$

y da la energía almacenada

$U_\mathrm{e}=\frac{Q_2^2}{2C_\mathrm{eq}}=\frac{3^2}{2\times 3}\,\mu\mathrm{J}=1.5\,\mu\mathrm{J}$

@@ Línea 196: / Línea 196: @@
 Sustituyendo en la expresión para los potenciales queda
-<center><math>V_1=1.5\times 2+1\times 5 = 8\,\mathrm{kV}\qquad\qquad V_2= 2+5=7\,\mathrm{kV}</math></center>
+<center><math>V_1=1.5\times 2+1\times 3 = 6\,\mathrm{kV}\qquad\qquad V_2= 2+3=5\,\mathrm{kV}</math></center>
 y en la de la energía
-<center><math>U_e = \frac{1}{2}(2\times 8 + 3\times 7)=18.5\,\mu\mathrm{J}</math></center>
+<center><math>U_e = \frac{1}{2}(2\times 6 + 3\times 5)=13.5\,\mu\mathrm{J}</math></center>
 Comparando este resultado con los de los dos casos anteriores, vemos que en este la carga es la suma de las cargas de los dos casos anteriores, y como resultado, los potenciales también son la suma de esos dos casos. Sin embargo, la energía almacenada no es la suma de las de los dos casos individuales. Es decir, el potencial eléctrico sí cumple el principio de superposición, pero la energía electrostática no lo hace.
 ===Cuarto caso===
-En el siguiente caso, tenemos las dos esferas cargas con cargas de la misma magnitud pero signo opuesto. En este caso, los voltajes son
+En el siguiente caso, tenemos las dos esferas cargas con cargas de la misma magnitud pero signo opuesto.
+<center><math>Q_1= -2\,\mathrm{nC}\qquad\qquad Q_2=+2\,\mathrm{nC}</math></center>
+En este caso, los voltajes son
 <center><math>V_1=1.5\times (-2)+2= -1\,\mathrm{kV}\qquad V_2=-2+2 = 0\,\mathrm{kV}</math></center>
+y la energía
+<center><math>U_\mathrm{e}=\frac{1}{2}\left((-2)\times (-1) + (+2)\times 0) = +1\,\mu\mathrm{J}</math></center>
+Desde el punto de vista del circuito, lo que ocurre en este caso es que, al estar el conductor 2 a tierra, el condensador B está descargado, por lo que toda la carga y la energía se almacenan en el A.
+Nótese también que aunque la carga es negativa, la energía es positiva.
+===Quinto caso===
+En este caso tenemos también cargas opuestas, pero de distinta magnitud.
+<center><math>Q_1= -2\,\mathrm{nC}\qquad\qquad Q_2=3\,\mathrm{nC}</math></center>
+Sustituyendo en la expresión para los potenciales queda
+<center><math>V_1=1.5\times(-2)+1\times 3 = 0\,\mathrm{kV}\qquad\qquad V_2= -2+3=1\,\mathrm{kV}</math></center>
+y en la de la energía
+<center><math>U_e = \frac{1}{2}((-2)\times 0 + 3\times 1)=1.5\,\mu\mathrm{J}</math></center>
+En este caso, al estar la esfera interior a tierra, el circuito equivale a dos condensadores puestos en ''paralelo'', siendo su capacidad equivalente
+<center><math>C_\mathrm{eq}=(2+1)\,\mathrm{pF}=3\,\mathrm{pF}</math></center>
+lo que da el potencial para la corteza
+<center><math>V_2 = \frac{Q_2}{C_\mathrm{eq}}=\frac{3\,\mathrm{nC}}{3\,\mathrm{pF}}=1\,\mathrm{kV}</math></center>
+y da la energía almacenada
+<center><math>U_\mathrm{e}=\frac{Q_2^2}{2C_\mathrm{eq}}=\frac{3^2}{2\times 3}\,\mu\mathrm{J}=1.5\,\mu\mathrm{J}</math></center>
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1 Enunciado

2 Introducción

3 Caso general

3.1 Potenciales en función de las cargas

3.2 Cargas en función de los potenciales

3.3 Circuito equivalente

3.4 Energía electrostática

4 Análisis de los diferentes casos

4.1 Primer caso

4.2 Segundo caso

4.3 Tercer caso

4.4 Cuarto caso

4.5 Quinto caso

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