Masa suspendida de dos muelles

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)

Revisión de 17:51 23 dic 2013

Contenido

1 Enunciado
2 Equilibrio en paralelo
3 Oscilación en paralelo
4 Equilibrio en serie
5 Oscilación en serie

1 Enunciado

Se dispone de una masa $m=1\,\mathrm{kg}$ y de resortes de longitud natural 10 cm y constantes $k_1= 900\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ y $k_2=1600\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ .

Suponga que se cuelga la masa del techo colocando en paralelo los dos resortes. En el equilibrio, ¿cuál es la distancia de la masa al techo?
Para este caso, si la masa está en la posición de equilibrio y se le comunica una velocidad de 10 cm/s hacia arriba, ¿cuál es la amplitud de las oscilaciones resultantes? ¿Y su frecuencia?
Suponga ahora que los resortes se conectan en serie, uno a continuación del otro y se suspenden del techo, con la masa en el extremo inferior. ¿Cuánto se estira cada resorte?
Si para este segundo caso se le comunica a la masa en el equilibrio una velocidad de 10 cm/s hacia abajo, ¿cuál es la amplitud y la frecuencia de las oscilaciones?

2 Equilibrio en paralelo

Para analizar el problema, consideramos un sistema de ejes en el que la dirección vertical y hacia abajo es el eje OX. Puesto que todos los desplazamientos y fuerzas van a ir en esta dirección, podemos usar cantidades escalares. El signo positivo indicará una fuerza o desplazamiento hacia abajo y el signo negativo uno hacia arriba.

Tenemos en primer lugar el caso de dos resortes de constantes $k_1= 900\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ y $k_2=1600\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ y longitudes en reposo $l_{10}=l_{20}=10\,\mathrm{cm}$ , que cuelgan del techo y una masa $m=1\,\mathrm{kg}$ suspendida de ambos muelles simultáneamente. ¿Dónde está la posición de equilibrio?

Sea $l$ la longitud que adquieren ambos resortes (que será necesariamente la misma para los dos).

$l = l_1 = l_2\,$

La ecuación de movimiento para la masa es

m a = F = F 1 + F 2 + m g

siendo $F 1$ y $F 2$ las fuerzas producidas por cada una de los resortes

$F_1 = -k_1(l-l_{10})\qquad F_2 = -k_2(l-l_{20})$

La posición de equilibrio nos la da el que la fuerza sea cero

$-k_1(l-l_{10}) - k_2(l-l_{20}) + mg = 0\qquad\Rightarrow\qquad l_\mathrm{eq} = \frac{k_1l_{10}+k_2l_{20}+mg}{k_1+k_2}$

Numéricamente

$l_\mathrm{eq}=\frac{900\times 0.1+1600\times 0.1+1\times 9.81}{900+1600}\,\mathrm{m}=0.104\,\mathrm{m}=10.4\,\mathrm{cm}$

Vemos que la deformación es pequeña por ser los dos muelles mu rígidos.

3 Oscilación en paralelo

El comportamiento dinámico del sistema lo da la ecuación de movimiento

$ma = -k_1(l-l_{10}) -k_2(l-l_{20})+mg\,$

Definiendo elongación como la diferencia de la longitud respecto a la de equilibrio (no a la natural)

$x = l-l_\mathrm{eq}\,$

la ecuación de movimiento se convierte en

m a = - k 1 x - k 1 (l eq - l 10) - k 2 x - k 2 (l eq - l 20) + m g

pero, dado que, por la propia definición de la longitud de equilibrio

- k 1 (l eq - l 10) - k 2 (l eq - l 20) + m g = 0

la ecuación de movimiento se reduce a

m a = - (k 1 + k 2) x

que nos dice que el muelle oscila en torno a su posición de equilibrio con una constante equivalente a la asociación que es la suma de las constantes individuales

$k_\mathrm{eq}=k_1+k_2=2500\,\frac{\mathrm{N}}{\mathrm{m}}\,$

de forma que la frecuencia de oscilación vale

$\omega = \sqrt{\frac{k_\mathrm{eq}}{m}}=\sqrt{\frac{k_1+k_2}{m}}=\sqrt{2500}=50\,\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}}$

Cuando a un oscilador se le comunica una velocidad inicial partiendo de la posición de equilibrio la amplitud de sus oscilaciones es

$A = \frac{v_0}{\omega}=\frac{0.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}}{50\,\mathrm{s}^{-1}}=2\,\mathrm{mm}$

4 Equilibrio en serie

5 Oscilación en serie

@@ Línea 38: / Línea 38: @@
 ==Oscilación en paralelo==
-Definiendo la posición respecto a la de equilibrio
+El comportamiento dinámico del sistema lo da la ecuación de movimiento
+<center><math>ma = -k_1(l-l_{10}) -k_2(l-l_{20})+mg\,</math></center>
+Definiendo elongación como la diferencia de la longitud respecto a la de equilibrio (no a la natural)
 <center><math>x = l-l_\mathrm{eq}\,</math></center>
@@ Línea 44: / Línea 48: @@
 la ecuación de movimiento se convierte en
-<center><math>a = -\frac{k_1+k_2}{m}x</math></center>
+<center><math>ma = -k_1x-k_1(l_\mathrm{eq}-l_{10})-k_2x-k_2(l_\mathrm{eq}-l_{20})+mg</math></center>
-que nos dice que el muelle oscila en torno a su posición de equilibrio con una constante equivalente a la asociación que es la suma de las constantes individuales
+pero, dado que, por la propia definición de la longitud de equilibrio
-<center><math>k_\mathrm{eq}=k_1+k_2\,</math></center>
+<center><math>-k_1(l_\mathrm{eq}-l_{10})-k_2(l_\mathrm{eq}-l_{20})+mg=0</math></center>
-de forma que la frecuencia de oscilación vale
+la ecuación de movimiento se reduce a
-<center><math>\omega = \sqrt{\frac{k_\mathrm{eq}}{m}}=\sqrt{\frac{k_1+k_2}{m}}</math></center>
+<center><math>ma = -(k_1+k_2)x</math></center>
-En particular, si las dos constantes son iguales, esto nos da una constante equivalente que es el doble de cada una de ellas.
+que nos dice que el muelle oscila en torno a su posición de equilibrio con una constante equivalente a la asociación que es la suma de las constantes individuales
-Cuando tenemos dos muelles suspendidos en paralelo, la elongación de ambos, respecto a la posición de equilibrio, es necesariamente la misma, mientras que la fuerza es la suma de la que produce cada resorte
+<center><math>k_\mathrm{eq}=k_1+k_2=2500\,\frac{\mathrm{N}}{\mathrm{m}}\,</math></center>
+de forma que la frecuencia de oscilación vale
-<center><math>x = x_1 = x_2\,\qquad\qquad F= F_1+F_2</math></center>
+<center><math>\omega = \sqrt{\frac{k_\mathrm{eq}}{m}}=\sqrt{\frac{k_1+k_2}{m}}=\sqrt{2500}=50\,\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}}</math></center>
-De aquí la relación entre las constantes es inmediata
+Cuando a un oscilador se le comunica una velocidad inicial partiendo de la posición de equilibrio la amplitud de sus oscilaciones es
-<center><math>F = F_1 + F_2 = -k_1 x_1 - k_2 x_2 = -(k_1+k_2)x\qquad \Rightarrow\qquad k_\mathrm{eq}=k_1+k_2</math></center>
+<center><math>A = \frac{v_0}{\omega}=\frac{0.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}}{50\,\mathrm{s}^{-1}}=2\,\mathrm{mm}</math></center>
-En general, siempre que tengamos dos, tres,... resortes atados a distintos anclajes fijos (que pueden estar en diferentes puntos del espacio) y todos a la misma masa <math>m</math>, la constante equivalente de la asociación es igual a la suma de las constantes individuales.
 ==Equilibrio en serie==
 ==Oscilación en serie==
 [[Categoría:Problemas de dinámica de la partícula (GIE)]]

Masa suspendida de dos muelles

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