Masa suspendida de dos muelles
De Laplace
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==Oscilación en paralelo== | ==Oscilación en paralelo== | ||
- | Definiendo la | + | El comportamiento dinámico del sistema lo da la ecuación de movimiento |
+ | |||
+ | <center><math>ma = -k_1(l-l_{10}) -k_2(l-l_{20})+mg\,</math></center> | ||
+ | |||
+ | Definiendo elongación como la diferencia de la longitud respecto a la de equilibrio (no a la natural) | ||
<center><math>x = l-l_\mathrm{eq}\,</math></center> | <center><math>x = l-l_\mathrm{eq}\,</math></center> | ||
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la ecuación de movimiento se convierte en | la ecuación de movimiento se convierte en | ||
- | <center><math> | + | <center><math>ma = -k_1x-k_1(l_\mathrm{eq}-l_{10})-k_2x-k_2(l_\mathrm{eq}-l_{20})+mg</math></center> |
- | que | + | pero, dado que, por la propia definición de la longitud de equilibrio |
- | <center><math> | + | <center><math>-k_1(l_\mathrm{eq}-l_{10})-k_2(l_\mathrm{eq}-l_{20})+mg=0</math></center> |
- | + | la ecuación de movimiento se reduce a | |
- | <center><math> | + | <center><math>ma = -(k_1+k_2)x</math></center> |
- | + | que nos dice que el muelle oscila en torno a su posición de equilibrio con una constante equivalente a la asociación que es la suma de las constantes individuales | |
- | + | <center><math>k_\mathrm{eq}=k_1+k_2=2500\,\frac{\mathrm{N}}{\mathrm{m}}\,</math></center> | |
+ | |||
+ | de forma que la frecuencia de oscilación vale | ||
- | <center><math> | + | <center><math>\omega = \sqrt{\frac{k_\mathrm{eq}}{m}}=\sqrt{\frac{k_1+k_2}{m}}=\sqrt{2500}=50\,\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}}</math></center> |
- | + | Cuando a un oscilador se le comunica una velocidad inicial partiendo de la posición de equilibrio la amplitud de sus oscilaciones es | |
- | <center><math> | + | <center><math>A = \frac{v_0}{\omega}=\frac{0.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}}{50\,\mathrm{s}^{-1}}=2\,\mathrm{mm}</math></center> |
- | |||
==Equilibrio en serie== | ==Equilibrio en serie== | ||
==Oscilación en serie== | ==Oscilación en serie== | ||
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Revisión de 17:51 23 dic 2013
Contenido |
1 Enunciado
Se dispone de una masa y de resortes de longitud natural 10 cm y constantes
y
.
- Suponga que se cuelga la masa del techo colocando en paralelo los dos resortes. En el equilibrio, ¿cuál es la distancia de la masa al techo?
- Para este caso, si la masa está en la posición de equilibrio y se le comunica una velocidad de 10 cm/s hacia arriba, ¿cuál es la amplitud de las oscilaciones resultantes? ¿Y su frecuencia?
- Suponga ahora que los resortes se conectan en serie, uno a continuación del otro y se suspenden del techo, con la masa en el extremo inferior. ¿Cuánto se estira cada resorte?
- Si para este segundo caso se le comunica a la masa en el equilibrio una velocidad de 10 cm/s hacia abajo, ¿cuál es la amplitud y la frecuencia de las oscilaciones?
2 Equilibrio en paralelo
Para analizar el problema, consideramos un sistema de ejes en el que la dirección vertical y hacia abajo es el eje OX. Puesto que todos los desplazamientos y fuerzas van a ir en esta dirección, podemos usar cantidades escalares. El signo positivo indicará una fuerza o desplazamiento hacia abajo y el signo negativo uno hacia arriba.
Tenemos en primer lugar el caso de dos resortes de constantes y
y longitudes en reposo
, que cuelgan del techo y una masa
suspendida de ambos muelles simultáneamente. ¿Dónde está la posición de equilibrio?
Sea l la longitud que adquieren ambos resortes (que será necesariamente la misma para los dos).

La ecuación de movimiento para la masa es
siendo F1 y F2 las fuerzas producidas por cada una de los resortes

La posición de equilibrio nos la da el que la fuerza sea cero

Numéricamente

Vemos que la deformación es pequeña por ser los dos muelles mu rígidos.
3 Oscilación en paralelo
El comportamiento dinámico del sistema lo da la ecuación de movimiento

Definiendo elongación como la diferencia de la longitud respecto a la de equilibrio (no a la natural)

la ecuación de movimiento se convierte en
pero, dado que, por la propia definición de la longitud de equilibrio
la ecuación de movimiento se reduce a
que nos dice que el muelle oscila en torno a su posición de equilibrio con una constante equivalente a la asociación que es la suma de las constantes individuales

de forma que la frecuencia de oscilación vale

Cuando a un oscilador se le comunica una velocidad inicial partiendo de la posición de equilibrio la amplitud de sus oscilaciones es
